Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +2 µC и +8 µC находятся на расстоянии 40 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +2 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +2 µCq₂ = +8 µCd = 40 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Заряды +6 µC и −6 µC находятся на расстоянии 8 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 3 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = −6 µCd = 8 cmh = 3 cm

E = N/C

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 90% конечного значения? Найдите t.

V_s = 9 VR = 15 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 15 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 12 V, ровно через 200 ms после старта. При C = 22 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 15 VV_th = 12 VT = 200 msC = 22 µF

R = kΩ

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Протон со скоростью 6 × 10⁶ m/s влетает в однородное магнитное поле под прямым углом и движется по окружности радиусом 31,33 cm. Найдите магнитную индукцию B.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁶ m/sr = 31,33 cm

B = T

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 800 витков, длину 15 cm и диаметр 2,5 cm. Найдите его индуктивность L.

N = 800l = 15 cm⌀ = 2,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 47 µF

cos φ =

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 13,33 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

2/x² = 8/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(8/2) = 2

Положение

x = 40/(1 + 2) = 13,33 cm

Ответ

x = 13,33 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 3,452 × 10⁷ N/C

Расстояние и поле одного заряда

r = √(4² + 3²) = 5 cm

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,05² = 2,158 × 10⁷ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль серединного перпендикуляра компенсируются.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·2,158 × 10⁷·0,8 = 3,452 × 10⁷ N/C

Ответ

E = 3,452 × 10⁷ N/C

Поле направлено параллельно прямой от положительного заряда к отрицательному.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,286 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 2 + 4 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 6·6/(6+6) = 3 Ω

R_eq = R₁ + 3 = 4 + 3 = 7 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/7 = 2,571 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 2,571·4 = 7,714 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,714/6 = 1,286 A

Ответ

I_R2 = 1,286 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,659 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 2 + 25 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 2,7 Ω

R₃ + 2,7 = 5,7 Ω

R₂ ∥ 5,7 = 2,351 Ω

R_eq = R₁ + 2,351 = 3 + 2,351 = 5,351 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/5,351 = 1,121 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 1,121·3 = 2,636 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,636/4 = 0,659 A

Ответ

I_R2 = 0,659 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 7,215 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 47 mH / 15 Ω = 3,133 ms

i(∞) = V_s/R = 9/15 = 0,6 A

Выразите время

0,9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)

t = −3,133·ln(0,1) = 7,215 ms

Ответ

t = 7,215 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 5,648 kΩ

Требуемая постоянная времени

12 = 15·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(15/(15 − 12))

τ = 200/1,609 = 124,3 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 124,3/22 = 5,648 kΩ

Ответ

R = 5,648 kΩ

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: B = 0,2 T

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Поле по радиусу

B = mv/(|q|r) = 1,673 × 10⁻²⁷·6 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,3133) = 0,2 T

Ответ

B = 0,2 T

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: L = 2,632 mH

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Поперечное сечение

A = π·(0,0125)² = 0,0004909 m²

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·800²·0,0004909/0,15 = 0,002632 H = 2,632 mH

Ответ

L = 2,632 mH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,8243

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 47,12 Ω, X_C = 67,73 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(30² + (−20,6)²) = 36,39 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 30/36,39 = 0,8243

Цепь ёмкостная, поэтому коэффициент мощности опережающий.

Ответ

cos φ = 0,8243

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,0198 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·2,2·10⁻⁶) = 723,4 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−597,8)²) = 606,1 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/606,1 = 0,0198 A

Ответ

I = 0,0198 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism