Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +2 µC и заряд −5 µC находятся на расстоянии 40 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 24 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +2 µCq₂ = −5 µCr₁ = 24 cmr₂ = 16 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Электрон влетает в однородное поле между двумя параллельными пластинами, двигаясь параллельно им со скоростью 3,5 × 10⁷ m/s. Длина пластин 8 cm, напряжённость поля между ними 4700 N/C. Заряд электрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, масса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силой тяжести пренебречь. На какое расстояние y он отклонится вбок к моменту вылета из пластин? Дайте ответ в mm.

v₀ = 3,5 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 4700 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 1,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

i(0) = 1,5 AR = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был замкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток катушки i при t = 1 ms.

V_s = 20 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Два длинных параллельных провода на расстоянии 8 cm друг от друга проводят токи 12 A и 15 A в одном направлении. Найдите силу на метр длины F/L между ними.

I₁ = 12 AI₂ = 15 Ad = 8 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Короткая катушка из 200 витков плотно намотана на середину длинного соленоида из 1500 витков длиной 30 cm и диаметром 4 cm. Ток в соленоиде меняется со скоростью 10 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую в короткой катушке.

N₁ = 1500N₂ = 200l = 30 cm⌀ = 4 cmdi/dt = 10 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 47 µF

cos φ =

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 10 Ω, L = 20 mH и C = 0,1 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 10 ΩL = 20 mHC = 0,1 µF

B = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 2,068 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,24² = 312153 N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,16² = 1,756 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |312153 + 1,756 × 10⁶| = 2,068 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 2,068 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: y = 2,159 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Время между пластинами

t = L/v₀ = 0,08/3,5 × 10⁷ = 2,286 × 10⁻⁹ s

Поперечное ускорение

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4700/9,109 × 10⁻³¹ = 8,266 × 10¹⁴ m/s²

Прогиб

y = ½·a·t² = ½·8,266 × 10¹⁴·(2,286 × 10⁻⁹)² = 0,002159 m = 2,159 mm

Ответ

y = 2,159 mm

Электрон притягивается к положительной пластине, против направления поля.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 3,91 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 12 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 5·24/(5+24) = 4,138 Ω

R_eq = R₁ + 4,138 = 2 + 4,138 = 6,138 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/6,138 = 3,91 A

Ответ

I_R1 = 3,91 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 17,28 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 10 + 8 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 6,429 Ω

R₃ + 6,429 = 9,429 Ω

R₂ ∥ 9,429 = 5,28 Ω

R_eq = R₁ + 5,28 = 12 + 5,28 = 17,28 Ω

Ответ

R_eq = 17,28 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,6043 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1,1 ms

Убывание тока

i(t) = 1,5·e^−1/1,1 = 0,6043 A

Ответ

i = 0,6043 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,7267 A

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 замкнутый ключ шунтирует R₂; после этого в контур входят и R₁, и R₂.

i(0) = 20/15 = 1,333 A

i(∞) = 20/(15 + 20) = 0,5714 A

τ = L/R = 22/35 = 0,6286 ms

i(t) = 0,5714 + (1,333 − 0,5714)·e^−t/τ

Ток в заданный момент

i(1) = 0,5714 + (0,7619)·e^−1/0,6286 = 0,7267 A

Ответ

i = 0,7267 A

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: F/L = 450 µN/m

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Сила на метр

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·12·15/0,08 = 450 µN/m

Ответ

F/L = 450 µN/m

Токи одного направления притягиваются.

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 15,79 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Взаимная индуктивность

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1500·200·0,001257/0,3 = 1,579 mH

ЭДС индукции

ε = M·di/dt = 0,001579·10 = 15,79 mV

Ответ

ε = 15,79 mV

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,9424

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 12,57 Ω, X_C = 33,86 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(60² + (−21,3)²) = 63,67 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 60/63,67 = 0,9424

Цепь ёмкостная, поэтому коэффициент мощности опережающий.

Ответ

cos φ = 0,9424

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 79,58 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,1·10⁻⁶)) = 3559 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,02/(0,1·10⁻⁶)) = 44,72

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 3559/44,72 = 79,58 Hz

Ответ

B = 79,58 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism