Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точечного заряда
E = k·|q|/r²
Постоянная
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд
F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод
B = μ0I/(2πr)
Центр плоской катушки
B = μ0NI/(2R)
Длинный соленоид
B = μ0nI, n = N/L
Постоянная
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод
F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд
F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Поток
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Индуктивность
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор скоростей и спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
  2. Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
  4. Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
++8 µC−−4 µCP30 cm

Заряд +8 µC и заряд −4 µC находятся на расстоянии 30 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 7,5 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q1 = +8 µCq2 = −4 µCr1 = 7,5 cmr2 = 22,5 cm
E = N/C
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
10 cm4 cm+q1​ = +2 µC+q3​ = +6 µC+q2​ = +1 µC

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 6 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 2 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 1 µC — на расстоянии 4 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q1 = 2 µCq2 = 1 µCq3 = 6 µCr13 = 10 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩIR2​AR4​5 ΩB

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 9 VR1 = 12 ΩR2 = 12 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 30 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​30 ΩAR4​15 ΩBR6​30 Ω

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 24 VR1 = 30 ΩR2 = 30 ΩR3 = 10 ΩR4 = 15 ΩR5 = 15 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​15 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 2,2 kΩC10 µF+−vC​

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 15 ms.

Vs = 15 VR1 = 1 kΩR2 = 2,2 kΩC = 10 µFt = 15 ms
vC = V
6.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​15 Vt = 0R = 2,2 kΩC?+−vC​

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 15 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 13,5 V, ровно через 250 ms после старта. При R = 2,2 kΩ найдите необходимую ёмкость C.

Vs = 15 VVth = 13,5 VT = 250 msR = 2,2 kΩ
C = µF
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
−vBF = ?

Электрон движется вправо в однородном магнитном поле, направленном в плоскость страницы. Нажмите на направление магнитной силы, действующей на него.

v: вправоB: в плоскость страницы
  1. 1вверх по странице
  2. 2вправо
  3. 3вниз по странице
  4. 4влево
8.Магнитные поля и индукцияСложная
I = 3 Al = 30 cmN = 400, ⌀ 1 cm

Длинный соленоид без сердечника имеет 400 витков, длину 30 cm и диаметр 1 cm. Найдите энергию W, запасённую в его магнитном поле, когда по нему течёт ток 3 A.

N = 400l = 30 cm⌀ = 1 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
50 V50 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 10 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 10 µF
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
100 V1000 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 100 µF+−VC​

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 1000 Hz. Найдите действующее значение напряжения VC на конденсаторе.

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 100 µF
VC = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,35 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E1 = k·8 × 10⁻⁶/0,075² = 1,279 × 10⁷ N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0,225² = 710321 N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |1,279 × 10⁷ + 710321| = 1,35 × 10⁷ N/C

Ответ

E = 1,35 × 10⁷ N/C
2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 35,4 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F1 = k·2·6 × 10⁻¹²/0,1² = 10,79 N
F2 = k·1·6 × 10⁻¹²/0,04² = 33,71 N

Векторная сумма

F = √(10,79² + 33,71²) = 35,4 N

Ответ

F = 35,4 N
3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 0,2566 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAR4​5 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 8 + 5 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 12·13/(12+13) = 6,24 Ω
Req = R1 + 6,24 = 12 + 6,24 = 18,24 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 9/18,24 = 0,4934 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,4934·12 = 3,079 V
IR2 = VA/R2 = 3,079/12 = 0,2566 A

Ответ

IR2 = 0,2566 A
4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 42,44 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 30 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​24 VR2​30 ΩAR4​15 ΩBR6​30 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 15 + 30 = 45 Ω
R4 ∥ 45 = 11,25 Ω
R3 + 11,25 = 21,25 Ω
R2 ∥ 21,25 = 12,44 Ω
Req = R1 + 12,44 = 30 + 12,44 = 42,44 Ω

Ответ

Req = 42,44 Ω
5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 9,149 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

Rth = R1 ∥ R2 = 1·2,2/(1 + 2,2) = 0,6875 kΩ
vC(∞) = 15·2,2/(1 + 2,2) = 10,31 V

Постоянная времени

τ = Rth·C = 0,6875·10 = 6,875 ms

Кривая заряда

vC(t) = 10,31·(1 − e−15/6,875) = 9,149 V

Ответ

vC = 9,149 V
6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: C = 49,35 µF

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Требуемая постоянная времени

13,5 = 15·(1 − e−250/τ) → τ = 250/ln(15/(15 − 13,5))
τ = 250/2,303 = 108,6 ms

Ёмкость

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

C = τ/R = 108,6/2,2 = 49,35 µF

Ответ

C = 49,35 µF
7.Магнитные поля и индукция

Ответ: вниз по странице

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правой руки

Направьте пальцы вдоль тока или скорости и согните их к B; большой палец покажет силу, действующую на положительный заряд.

v: вправо, B: в плоскость страницы

Отрицательный заряд

Сила, действующая на электрон, противоположна силе, действующей на положительный заряд.

Направление силы

вниз по странице

Ответ

F: вниз по странице
8.Магнитные поля и индукция

Ответ: W = 236,9 µJ

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 52,64 µH

Запасённая энергия

W = ½LI² = ½·5,264 × 10⁻⁵·3² = 0,0002369 J = 236,9 µJ

Ответ

W = 236,9 µJ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,1569 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−302,6)²) = 318,7 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 50/318,7 = 0,1569 A

Ответ

I = 0,1569 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: VC = 0,2534 V

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,1 = 628,3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·100·10⁻⁶) = 1,592 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (626,7)²) = 628 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/628 = 0,1592 A

Напряжение на конденсаторе

VC = I·XC = 0,1592·1,592 = 0,2534 V

Ответ

VC = 0,2534 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism