Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +1 µC и заряд −6 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 10 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +1 µCq₂ = −6 µCr₁ = 10 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 3 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 4 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 2 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 2 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 20 ms, в mJ.

V_s = 5 VR = 10 ΩL = 100 mHt = 20 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 12 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 9,6 V, ровно через 250 ms после старта. При C = 2,2 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 12 VV_th = 9,6 VT = 250 msC = 2,2 µF

R = kΩ

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Протон движется со скоростью 2,5 × 10⁵ m/s перпендикулярно однородному магнитному полю 1,5 T. Найдите радиус r его круговой траектории.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁵ m/sB = 1,5 T

r = cm

8.Магнитные поля и индукцияСложная

В селекторе скоростей скрещённые поля E = 5 × 10⁴ V/m и B = 0,2 T пропускают прямо только ионы одной скорости. Найдите эту скорость v.

E = 5 × 10⁴ V/mB₁ = 0,2 T

v = m/s

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 100 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 100 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 6,293 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,1² = 899000 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,1² = 5,394 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |899000 + 5,394 × 10⁶| = 6,293 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 6,293 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 22,55 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·4·3 × 10⁻¹²/0,08² = 16,86 N

F₂ = k·2·3 × 10⁻¹²/0,06² = 14,98 N

Векторная сумма

F = √(16,86² + 14,98²) = 22,55 N

Ответ

F = 22,55 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,2432 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 5 + 10 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 2·15/(2+15) = 1,765 Ω

R_eq = R₁ + 1,765 = 20 + 1,765 = 21,76 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/21,76 = 0,2757 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,2757·20 = 0,4865 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,4865/2 = 0,2432 A

Ответ

I_R2 = 0,2432 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,2263 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 8 + 12 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 4,615 Ω

R₃ + 4,615 = 34,62 Ω

R₂ ∥ 34,62 = 14,52 Ω

R_eq = R₁ + 14,52 = 12 + 14,52 = 26,52 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/26,52 = 0,2263 A

Ответ

I_R1 = 0,2263 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 9,346 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 100 mH / 10 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 5/10 = 0,5 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,5·(1 − e^−20/10) = 0,4323 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·100·0,4323² = 9,346 mJ

Ответ

W = 9,346 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 70,61 kΩ

Требуемая постоянная времени

9,6 = 12·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(12/(12 − 9,6))

τ = 250/1,609 = 155,3 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 155,3/2,2 = 70,61 kΩ

Ответ

R = 70,61 kΩ

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 0,1741 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Баланс сил

Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому она искривляет траекторию в окружность.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радиус

r = 1,673 × 10⁻²⁷·2,5 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·1,5) = 0,001741 m = 0,1741 cm

Ответ

r = 0,1741 cm

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: v = 250000 m/s

Выбираемая скорость

Без отклонения: электрическая сила qE уравновешивает магнитную силу qvB.

v = E/B₁ = 5 × 10⁴/0,2 = 250000 m/s

Ответ

v = 250000 m/s

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 2,362 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (46,71)²) = 50,81 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 120/50,81 = 2,362 A

Ответ

I = 2,362 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,3412 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,15 = 47,12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (15,29)²) = 29,31 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/29,31 = 0,3412 A

Ответ

I = 0,3412 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism