Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +1 µC и заряд +10 µC находятся на расстоянии 10 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 4 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +1 µCq₂ = +10 µCr₁ = 4 cmr₂ = 6 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Электрон влетает в однородное поле между двумя параллельными пластинами, двигаясь параллельно им со скоростью 1 × 10⁷ m/s. Длина пластин 5 cm, напряжённость поля между ними 2000 N/C. Заряд электрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, масса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силой тяжести пренебречь. На какое расстояние y он отклонится вбок к моменту вылета из пластин? Дайте ответ в mm.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 2000 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 5 ms.

V_s = 6 VR = 10 ΩL = 33 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 12 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 10,8 V? Найдите t.

V_s = 10 VR = 2,2 kΩC = 100 µFv_C(0) = 12 V

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Круговой контур находится в однородном магнитном поле, направленном в плоскость страницы. Индукция поля убывает. Нажмите на направление индукционного тока в контуре, как оно видно на рисунке.

B: в плоскость страницыdB/dt < 0

1по часовой стрелке
2против часовой стрелки

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Альфа-частица начинает движение из состояния покоя, ускоряется разностью потенциалов 10000 V и затем влетает в однородное магнитное поле 0,3 T под прямым углом. Найдите радиус r его траектории в поле.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0,3 T

r = cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с C = 47 µF должен резонировать на частоте 1000 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.

f₀ = 1000 HzC = 47 µF

L = mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 20 Ω, L = 20 mH и C = 10 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF

Q =

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,935 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,04² = 5,619 × 10⁶ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,06² = 2,497 × 10⁷ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |5,619 × 10⁶ − 2,497 × 10⁷| = 1,935 × 10⁷ N/C

Ответ

E = 1,935 × 10⁷ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: y = 4,397 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Время между пластинами

t = L/v₀ = 0,05/1 × 10⁷ = 5 × 10⁻⁹ s

Поперечное ускорение

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2000/9,109 × 10⁻³¹ = 3,517 × 10¹⁴ m/s²

Прогиб

y = ½·a·t² = ½·3,517 × 10¹⁴·(5 × 10⁻⁹)² = 0,004397 m = 4,397 mm

Ответ

y = 4,397 mm

Электрон притягивается к положительной пластине, против направления поля.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,119 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 10 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 12·25/(12+25) = 8,108 Ω

R_eq = R₁ + 8,108 = 10 + 8,108 = 18,11 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/18,11 = 1,657 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1,657·10 = 13,43 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13,43/12 = 1,119 A

Ответ

I_R2 = 1,119 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 6,835 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 3 + 8 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 4,632 Ω

R₃ + 4,632 = 10,63 Ω

R₂ ∥ 10,63 = 3,835 Ω

R_eq = R₁ + 3,835 = 3 + 3,835 = 6,835 Ω

Ответ

R_eq = 6,835 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 1,319 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 33 mH / 10 Ω = 3,3 ms

i(∞) = V_s/R = 6/10 = 0,6 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−5/3,3 = 1,319 V

Ответ

v_L = 1,319 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 201,6 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 100 µF = 220 ms

v_C(t) = 10 + (12 − 10)·e^−t/τ

Выразите время

10,8 = 10 + (2)·e^−t/τ → e^−t/τ = (10,8 − 10)/(12 − 10) = 0,4

t = τ·ln((12 − 10)/(10,8 − 10)) = 220·ln(2,5) = 201,6 ms

Ответ

t = 201,6 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: по часовой стрелке

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока

Поток из плоскости страницы возрастает, или поток в плоскость страницы убывает.

Поле индукционного тока

Индукционный ток противодействует изменению.

Индуцированное поле внутри контура: в плоскость страницы.

Направление тока

Правило правой руки: ток против часовой стрелки создаёт внутри контура поле, направленное из плоскости страницы.

по часовой стрелке

Ответ

по часовой стрелке

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 6,789 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Скорость после ускорения

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·10000/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 982005 m/s

Радиус в поле

r = mv/(|q|B) = 0,06789 m = 6,789 cm

Ответ

r = 6,789 cm

Вместе: r = √(2mV/|q|)/B, поэтому более тяжёлые ионы с тем же зарядом движутся по окружностям большего радиуса; так разделяют изотопы.

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: L = 0,5389 mH

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(6283²·47·10⁻⁶) = 0,5389 mH

Ответ

L = 0,5389 mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 2,236

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,02·10·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,02/(10·10⁻⁶)) = 2,236

Ответ

Q = 2,236

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism