Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Два одинаковых маленьких металлических шарика имеют заряды −10 µC и +3 µC. Их приводят в соприкосновение, а затем снова располагают на расстоянии 5 cm. Найдите модуль силы F взаимодействия между ними теперь. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −10 µCq₂ = +3 µCr = 5 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 2 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 1 µC — на расстоянии 3 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 5 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 5 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 1 ms.

V_s = 5 VR = 100 ΩL = 100 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 15 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 9 V, ровно через 1000 ms после старта. При C = 4,7 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 15 VV_th = 9 VT = 1000 msC = 4,7 µF

R = kΩ

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Два длинных параллельных провода на расстоянии 2 cm друг от друга проводят токи 2 A и 5 A в противоположных направлениях. Найдите модуль магнитной индукции B в точке P посередине между ними.

I₁ = 2 AI₂ = 5 Ad = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Короткая катушка из 100 витков плотно намотана на середину длинного соленоида из 1500 витков длиной 25 cm и диаметром 4 cm. Найдите их взаимную индуктивность M.

N₁ = 1500N₂ = 100l = 25 cm⌀ = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

M = µH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с C = 10 µF должен резонировать на частоте 2000 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.

f₀ = 2000 HzC = 10 µF

L = mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 230 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩC = 22 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 44,05 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд после соприкосновения

q′ = (−10 + 3)/2 = −3,5 µC

Новая сила

F = 8,99 × 10⁹·(3,5 × 10⁻⁶)²/0,05² = 44,05 N

Ответ

F = 44,05 N

Теперь заряды шариков одного знака, поэтому они отталкиваются.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 21,91 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·1·2 × 10⁻¹²/0,03² = 19,98 N

F₂ = k·5·2 × 10⁻¹²/0,1² = 8,99 N

Векторная сумма

F = √(19,98² + 8,99²) = 21,91 N

Ответ

F = 21,91 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 6,1 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 3 + 4 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 3·7/(3+7) = 2,1 Ω

R_eq = R₁ + 2,1 = 4 + 2,1 = 6,1 Ω

Ответ

R_eq = 6,1 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,927 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 4 + 30 = 34 Ω

R₄ ∥ 34 = 7,727 Ω

R₃ + 7,727 = 15,73 Ω

R₂ ∥ 15,73 = 4,343 Ω

R_eq = R₁ + 4,343 = 5 + 4,343 = 9,343 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/9,343 = 1,927 A

Ответ

I_R1 = 1,927 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 1,839 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 100 mH / 100 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 5/100 = 0,05 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−1/1 = 1,839 V

Ответ

v_L = 1,839 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 232,2 kΩ

Требуемая постоянная времени

9 = 15·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(15/(15 − 9))

τ = 1000/0,9163 = 1091 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 1091/4,7 = 232,2 kΩ

Ответ

R = 232,2 kΩ

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: B = 140 µT

Магнитное поле токов: вокруг длинного прямого провода линии поля — окружности (правило правой руки), B = μ₀I/(2πr). В центре плоской круговой катушки из N витков B = μ₀NI/(2R). Внутри длинного соленоида поле однородно, B = μ₀nI, где n = N/L — число витков на метр, независимо от радиуса. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Работайте в единицах СИ (метры и амперы), а поля нескольких источников складывайте как векторы.

Поле каждого провода в точке P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·2/0,01 = 40 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·5/0,01 = 100 µT

Объедините

B = B₁ + B₂ = 140 µT

Ответ

B = 140 µT

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: M = 947,5 µH

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Взаимная индуктивность

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1500·100·0,001257/0,25 = 947,5 µH

Ответ

M = 947,5 µH

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: L = 0,6333 mH

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·10·10⁻⁶) = 0,6333 mH

Ответ

L = 0,6333 mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 5,91 A

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 18,58 − j5,137 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 20 + 18,58 − j5,137 = 38,58 − j5,137 Ω

|Z| = √(38,58² + 5,137²) = 38,92 Ω

Ток

I = V/|Z| = 230/38,92 = 5,91 A

Ответ

I = 5,91 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism