Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точечного заряда
E = k·|q|/r²
Постоянная
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд
F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод
B = μ0I/(2πr)
Центр плоской катушки
B = μ0NI/(2R)
Длинный соленоид
B = μ0nI, n = N/L
Постоянная
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод
F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд
F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Поток
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Индуктивность
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор скоростей и спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
  2. Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
  4. Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
++6 µC++10 µCE = 030 cm

Заряды +6 µC и +10 µC находятся на расстоянии 30 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +6 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q1 = +6 µCq2 = +10 µCd = 30 cm
x = cm
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
+ + + + + +− − − − − −e⁻3,5 × 10⁷ m/s6 cmE = 2300 N/C

Электрон влетает в однородное поле между двумя параллельными пластинами, двигаясь параллельно им со скоростью 3,5 × 10⁷ m/s. Длина пластин 6 cm, напряжённость поля между ними 2300 N/C. Заряд электрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, масса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силой тяжести пренебречь. На какое расстояние y он отклонится вбок к моменту вылета из пластин? Дайте ответ в mm.

v₀ = 3,5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 2300 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩIR2​AR4​6 ΩB

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 ΩR4 = 6 Ω
IR2 = A
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAR4​2 ΩBR6​5 Ω

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 ΩR4 = 2 ΩR5 = 12 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​20 Vt = 0R = 33 ΩL33 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 1 ms, в mJ.

Vs = 20 VR = 33 ΩL = 33 mHt = 1 ms
W = mJ
6.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​12 Vt = 0R = 1 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 30 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 17,4 V? Найдите t.

Vs = 12 VR = 1 kΩC = 22 µFvC(0) = 30 V
t = ms
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
vI = ?

Квадратный контур движется вправо в область с однородным магнитным полем, направленным в плоскость страницы. Нажмите на направление индукционного тока в контуре, как оно видно на рисунке, пока контур входит в поле.

B: в плоскость страницывходит в поле
  1. 1по часовой стрелке
  2. 2против часовой стрелки
8.Магнитные поля и индукцияСложная
Bn = 3600 rpm20 cm × 25 cmN = 200B = 0,25 T

Катушка из 200 витков размером 20 cm × 25 cm вращается с частотой 3600 rpm в однородном поле 0,25 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите амплитудную ЭДС E0.

N = 200A = 20 cm × 25 cmB = 0,25 Tn = 3600 rpm
E0 = V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Vf0​ = 100 HzRL = ?C = 10 µF

Последовательный RLC-контур с C = 10 µF должен резонировать на частоте 100 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.

f0 = 100 HzC = 10 µF
L = mH
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
12 V50 HzR1​ = 20 ΩR2​ = 100 ΩC = 47 µF

Резистор R1 включён последовательно с параллельным соединением R2 и конденсатора C в сеть 12 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR1 = 20 ΩR2 = 100 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 13,09 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

6/x² = 10/(30 − x)²
(30 − x)/x = √(10/6) = 1,291

Положение

x = 30/(1 + 1,291) = 13,09 cm

Ответ

x = 13,09 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: y = 0,5944 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Время между пластинами

t = L/v₀ = 0,06/3,5 × 10⁷ = 1,714 × 10⁻⁹ s

Поперечное ускорение

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2300/9,109 × 10⁻³¹ = 4,045 × 10¹⁴ m/s²

Прогиб

y = ½·a·t² = ½·4,045 × 10¹⁴·(1,714 × 10⁻⁹)² = 0,0005944 m = 0,5944 mm

Ответ

y = 0,5944 mm

Электрон притягивается к положительной пластине, против направления поля.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 1,033 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​6 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 15 + 6 = 21 Ω
R2 ∥ 21 = 5·21/(5+21) = 4,038 Ω
Req = R1 + 4,038 = 3 + 4,038 = 7,038 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 9/7,038 = 1,279 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 1,279·3 = 5,164 V
IR2 = VA/R2 = 5,164/5 = 1,033 A

Ответ

IR2 = 1,033 A
4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 15,13 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAR4​2 ΩBR6​5 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 12 + 5 = 17 Ω
R4 ∥ 17 = 1,789 Ω
R3 + 1,789 = 7,789 Ω
R2 ∥ 7,789 = 5,127 Ω
Req = R1 + 5,127 = 10 + 5,127 = 15,13 Ω

Ответ

Req = 15,13 Ω
5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 2,422 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 20/33 = 0,6061 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,6061·(1 − e−1/1) = 0,3831 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·33·0,3831² = 2,422 mJ

Ответ

W = 2,422 mJ
6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 26,49 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 1 kΩ · 22 µF = 22 ms
vC(t) = 12 + (30 − 12)·e−t/τ

Выразите время

17,4 = 12 + (18)·e−t/τ → e−t/τ = (17,4 − 12)/(30 − 12) = 0,3
t = τ·ln((30 − 12)/(17,4 − 12)) = 22·ln(3,333) = 26,49 ms

Ответ

t = 26,49 ms
7.Магнитные поля и индукция

Ответ: против часовой стрелки

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока

Поток в плоскость страницы возрастает, или поток из плоскости страницы убывает.

Поле индукционного тока

Индукционный ток противодействует изменению.

Индуцированное поле внутри контура: из плоскости страницы.

Направление тока

Правило правой руки: ток против часовой стрелки создаёт внутри контура поле, направленное из плоскости страницы.

против часовой стрелки

Ответ

против часовой стрелки
8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E0 = 942,5 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s
A = 0,05 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 200·0,25·0,05·377 = 942,5 V

Ответ

E0 = 942,5 V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: L = 253,3 mH

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(628,3²·10·10⁻⁶) = 253,3 mH

Ответ

L = 253,3 mH
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 69,3 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

XC = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Zp на действительную и мнимую части.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 31,44 − j46,43 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 20 + 31,44 − j46,43 = 51,44 − j46,43 Ω
|Z| = √(51,44² + 46,43²) = 69,3 Ω

Ответ

|Z| = 69,3 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism