Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точечного заряда
E = k·|q|/r²
Постоянная
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд
F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод
B = μ0I/(2πr)
Центр плоской катушки
B = μ0NI/(2R)
Длинный соленоид
B = μ0nI, n = N/L
Постоянная
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод
F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд
F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Поток
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Индуктивность
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор скоростей и спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
  2. Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
  4. Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
++5 µC−−2 µC−−3 µC4 cm + 6 cm

Три точечных заряда лежат на одной прямой: +5 µC слева, −3 µC справа на расстоянии 10 cm и −2 µC между ними, на расстоянии 4 cm от левого заряда. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на средний заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +5 µCqR = −3 µCqM = −2 µCrL = 4 cmrR = 6 cm
F = N
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
5 cm5 cm+q1​ = +2 µC+q3​ = +4 µC+q2​ = +6 µC

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 4 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 2 µC — на расстоянии 5 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 6 µC — на расстоянии 5 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q1 = 2 µCq2 = 6 µCq3 = 4 µCr13 = 5 cmr23 = 5 cm
F = N
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩIR2​AR4​5 ΩB

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 6 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 ΩR4 = 5 Ω
IR2 = A
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 8 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​3 Ω

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 5 VR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 5 ΩR4 = 2 ΩR5 = 6 ΩR6 = 3 Ω
IR2 = A
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​20 Vt = 0R1​ = 4,7 kΩR2​ = 6,8 kΩC220 µF+−vC​

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 400 ms.

Vs = 20 VR1 = 4,7 kΩR2 = 6,8 kΩC = 220 µFt = 400 ms
vC = V
6.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​10 VR1​ = 10 ΩR2​ = 15 Ωзамыкается при t = 0L100 mHi(t)

Ключ, шунтирующий R2, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R2. Найдите ток катушки i при t = 5 ms.

Vs = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩL = 100 mHt = 5 ms
i = A
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
+v = 1,5 × 10⁶ m/sB = 0,5 T

Протон движется по окружности в однородном магнитном поле 0,5 T. Найдите время T, за которое он делает один оборот.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 0,5 T
T = ns
8.Магнитные поля и индукцияСложная
Bn = 1200 rpm12 cm × 15 cmN = 500B = 0,3 T

Катушка из 500 витков размером 12 cm × 15 cm вращается с частотой 1200 rpm в однородном поле 0,3 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите действующее значение Erms ЭДС.

N = 500A = 12 cm × 15 cmB = 0,3 Tn = 1200 rpm
Erms = V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
12 V200 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
100 V60 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 22 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 22 µF
I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 71,17 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила от каждого заряда

Направление вправо положительно.

FL = −k·5·2 × 10⁻¹²/0,04² = −56,19 N
FR = −k·3·2 × 10⁻¹²/0,06² = −14,98 N

Результирующая сила

F = −56,19 + (−14,98) = −71,17 N → |F| = 71,17 N

Ответ

F = 71,17 N

Результирующая сила направлена влево.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 90,97 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F1 = k·2·4 × 10⁻¹²/0,05² = 28,77 N
F2 = k·6·4 × 10⁻¹²/0,05² = 86,3 N

Векторная сумма

F = √(28,77² + 86,3²) = 90,97 N

Ответ

F = 90,97 N
3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 0,6755 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 12 + 5 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 5·17/(5+17) = 3,864 Ω
Req = R1 + 3,864 = 3 + 3,864 = 6,864 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 6/6,864 = 0,8742 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,8742·3 = 3,377 V
IR2 = VA/R2 = 3,377/5 = 0,6755 A

Ответ

IR2 = 0,6755 A
4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 0,1217 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 8 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩAR4​2 ΩBR6​3 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 6 + 3 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 1,636 Ω
R3 + 1,636 = 6,636 Ω
R2 ∥ 6,636 = 4,601 Ω
Req = R1 + 4,601 = 8 + 4,601 = 12,6 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 5/12,6 = 0,3968 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,3968·8 = 1,826 V
IR2 = VA/R2 = 1,826/15 = 0,1217 A

Ответ

IR2 = 0,1217 A
5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 5,678 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

Rth = R1 ∥ R2 = 4,7·6,8/(4,7 + 6,8) = 2,779 kΩ
vC(∞) = 20·6,8/(4,7 + 6,8) = 11,83 V

Постоянная времени

τ = Rth·C = 2,779·220 = 611,4 ms

Кривая заряда

vC(t) = 11,83·(1 − e−400/611,4) = 5,678 V

Ответ

vC = 5,678 V
6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,6361 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.

i(0) = 10/(10 + 15) = 0,4 A
i(∞) = 10/10 = 1 A
τ = L/R = 100/10 = 10 ms
i(t) = 1 + (0,4 − 1)·e−t/τ

Ток в заданный момент

i(5) = 1 + (−0,6)·e−5/10 = 0,6361 A

Ответ

i = 0,6361 A
7.Магнитные поля и индукция

Ответ: T = 131,2 ns

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Период движения по окружности

Более быстрая частица движется по большей окружности, поэтому время на один оборот остаётся прежним.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1,673 × 10⁻²⁷/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,5) = 131,2 ns

Ответ

T = 131,2 ns

Скорость не нужна: поэтому циклотрон может работать на одной фиксированной частоте.

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: Erms = 239,9 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s
A = 0,018 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 500·0,3·0,018·125,7 = 339,3 V

Действующее значение

Erms = 339,3/√2 = 239,9 V

Ответ

Erms = 239,9 V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −60,6 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (−106,5)²) = 122,2 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−106,5/60) = −60,6°

Ответ

φ = −60,6°
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 1,491 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−64,02)²) = 67,07 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/67,07 = 1,491 A

Ответ

I = 1,491 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism