Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Два одинаковых маленьких металлических шарика имеют заряды +6 µC и −2 µC. Их приводят в соприкосновение, а затем снова располагают на расстоянии 40 cm. Найдите модуль силы F взаимодействия между ними теперь. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = −2 µCr = 40 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Два одинаковых маленьких шарика массой 2 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 80 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 20° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 80 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 99% конечного значения? Найдите t.

V_s = 6 VR = 68 ΩL = 33 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R₂. Через какое время после t = 0 ток катушки достигнет 0,58 A? Найдите t.

V_s = 15 VR₁ = 22 ΩR₂ = 22 ΩL = 47 mH

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Альфа-частица движется со скоростью 4 × 10⁶ m/s перпендикулярно однородному магнитному полю 0,8 T. Найдите радиус r его круговой траектории.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁶ m/sB = 0,8 T

r = cm

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 150 витков размером 20 cm × 15 cm вращается в однородном поле 0,4 T вокруг оси, перпендикулярной полю. С какой скоростью n (в оборотах в минуту) она должна вращаться, чтобы действующее значение ЭДС составляло 39,99 V?

N = 150A = 20 cm × 15 cmB = 0,4 TE_rms = 39,99 V

n = rpm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 120 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 20 mH

|Z| = Ω

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 22 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 0,2247 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд после соприкосновения

q′ = (6 + −2)/2 = 2 µC

Новая сила

F = 8,99 × 10⁹·(2 × 10⁻⁶)²/0,4² = 0,2247 N

Ответ

F = 0,2247 N

Теперь заряды шариков одного знака, поэтому они отталкиваются.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 487,7 nC

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 20° = 0,007141 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 20° = 0,5472 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,5472·√(0,007141/8,99 × 10⁹) = 4,877 × 10⁻⁷ C = 487,7 nC

Ответ

q = 487,7 nC

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,973 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 2 + 2 = 4 Ω

R₂ ∥ 4 = 6·4/(6+4) = 2,4 Ω

R_eq = R₁ + 2,4 = 5 + 2,4 = 7,4 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/7,4 = 2,432 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 2,432·5 = 5,838 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,838/6 = 0,973 A

Ответ

I_R2 = 0,973 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 16,5 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 10 + 10 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 12 Ω

R₃ + 12 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 4,5 Ω

R_eq = R₁ + 4,5 = 12 + 4,5 = 16,5 Ω

Ответ

R_eq = 16,5 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 2,235 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 33 mH / 68 Ω = 0,4853 ms

i(∞) = V_s/R = 6/68 = 0,08824 A

Выразите время

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −0,4853·ln(0,01) = 2,235 ms

Ответ

t = 2,235 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 2,582 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.

i(0) = 15/(22 + 22) = 0,3409 A

i(∞) = 15/22 = 0,6818 A

τ = L/R = 47/22 = 2,136 ms

i(t) = 0,6818 + (0,3409 − 0,6818)·e^−t/τ

Выразите время

e^−t/τ = (0,58 − 0,6818)/(0,3409 − 0,6818) = 0,2987

t = 2,136·ln(3,348) = 2,582 ms

Ответ

t = 2,582 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 10,37 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Баланс сил

Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому она искривляет траекторию в окружность.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радиус

r = 6,645 × 10⁻²⁷·4 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,8) = 0,1037 m = 10,37 cm

Ответ

r = 10,37 cm

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: n = 300 rpm

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Амплитудная ЭДС

E₀ = √2·E_rms = 56,55 V

Угловая скорость

ω = E₀/(NBA) = 56,55/(150·0,4·0,03) = 31,42 rad/s

Обороты в минуту

n = 60·31,42/(2π) = 300 rpm

Ответ

n = 300 rpm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 12,19 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_L = ωL = 2π·100·0,02 = 12,57 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 120/50 = 2,4 A

I_X = V/X_L = 120/12,57 = 9,549 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,4² + 9,549²) = 9,846 A

Полное сопротивление

|Z| = V/I = 120/9,846 = 12,19 Ω

Ответ

|Z| = 12,19 Ω

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 1,291 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (89,49)²) = 92,92 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 120/92,92 = 1,291 A

Ответ

I = 1,291 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism