Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +1 µC и заряд +6 µC находятся на расстоянии 40 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 20 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +1 µCq₂ = +6 µCr₁ = 20 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Два одинаковых маленьких шарика массой 5 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 60 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 20° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 60 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 10 ms, в mJ.

V_s = 5 VR = 15 ΩL = 68 mHt = 10 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 30 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 25 ms.

V_s = 15 VR = 1 kΩC = 10 µFv_C(0) = 30 Vt = 25 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Электрон движется со скоростью 3 × 10⁶ m/s перпендикулярно однородному магнитному полю 2,5 mT. Найдите радиус r его круговой траектории.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 3 × 10⁶ m/sB = 2,5 mT

r = cm

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 100 витков размером 12 cm × 15 cm вращается с частотой 1200 rpm в однородном поле 0,4 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите амплитудную ЭДС E₀.

N = 100A = 12 cm × 15 cmB = 0,4 Tn = 1200 rpm

E₀ = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с L = 2 mH должен резонировать на частоте 1000 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f₀ = 1000 HzL = 2 mH

C = µF

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 100 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 60 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,124 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,2² = 224750 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,2² = 1,348 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |224750 − 1,348 × 10⁶| = 1,124 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 1,124 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 578,4 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 20° = 0,01785 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,6·sin 20° = 0,4104 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,4104·√(0,01785/8,99 × 10⁹) = 5,784 × 10⁻⁷ C = 578,4 nC

Ответ

q = 578,4 nC

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 12,86 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 6 + 10 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 12·16/(12+16) = 6,857 Ω

R_eq = R₁ + 6,857 = 6 + 6,857 = 12,86 Ω

Ответ

R_eq = 12,86 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,549 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 3 + 15 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 9,474 Ω

R₃ + 9,474 = 17,47 Ω

R₂ ∥ 17,47 = 3,255 Ω

R_eq = R₁ + 3,255 = 2 + 3,255 = 5,255 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/5,255 = 1,903 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 1,903·2 = 6,194 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,194/4 = 1,549 A

Ответ

I_R2 = 1,549 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 2,991 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 68 mH / 15 Ω = 4,533 ms

i(∞) = V_s/R = 5/15 = 0,3333 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,3333·(1 − e^−10/4,533) = 0,2966 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·68·0,2966² = 2,991 mJ

Ответ

W = 2,991 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 16,23 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms

v_C(t) = 15 + (30 − 15)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(25) = 15 + (15)·e^−25/10 = 16,23 V

Ответ

v_C = 16,23 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 0,6823 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Баланс сил

Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому она искривляет траекторию в окружность.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радиус

r = 9,109 × 10⁻³¹·3 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,0025) = 0,006823 m = 0,6823 cm

Ответ

r = 0,6823 cm

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E₀ = 90,48 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

A = 0,018 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 100·0,4·0,018·125,7 = 90,48 V

Ответ

E₀ = 90,48 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 12,67 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,002) = 12,67 µF

Ответ

C = 12,67 µF

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 49,81 Ω

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 13,18 − j24,84 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 30 + 13,18 − j24,84 = 43,18 − j24,84 Ω

|Z| = √(43,18² + 24,84²) = 49,81 Ω

Ответ

|Z| = 49,81 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism