Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Три точечных заряда лежат на одной прямой: +10 µC слева, +2 µC справа на расстоянии 20 cm и −2 µC между ними, на расстоянии 5 cm от левого заряда. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на средний заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +10 µCq_R = +2 µCq_M = −2 µCr_L = 5 cmr_R = 15 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 2 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 3 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 8 µC — на расстоянии 6 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 8 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 2 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. За какое время ток уменьшится до 0,5 A? Найдите t.

i(0) = 2 AR = 100 ΩL = 100 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 80 ms.

V_s = 30 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 47 µFt = 80 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Круговой контур находится в однородном магнитном поле, направленном в плоскость страницы. Индукция поля возрастает. Нажмите на направление индукционного тока в контуре, как оно видно на рисунке.

B: в плоскость страницыdB/dt > 0

1по часовой стрелке
2против часовой стрелки

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Дейтрон начинает движение из состояния покоя, ускоряется разностью потенциалов 1000 V и затем влетает в однородное магнитное поле 0,8 T под прямым углом. Найдите радиус r его траектории в поле.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0,8 T

r = cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с C = 1 µF должен резонировать на частоте 1000 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.

f₀ = 1000 HzC = 1 µF

L = mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение напряжения V_C на конденсаторе.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 22 µF

V_C = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 70,32 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила от каждого заряда

Направление вправо положительно.

F_L = −k·10·2 × 10⁻¹²/0,05² = −71,92 N

F_R = +k·2·2 × 10⁻¹²/0,15² = 1,598 N

Результирующая сила

F = −71,92 + (1,598) = −70,32 N → |F| = 70,32 N

Ответ

F = 70,32 N

Результирующая сила направлена влево.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 40,32 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·3·2 × 10⁻¹²/0,1² = 5,394 N

F₂ = k·8·2 × 10⁻¹²/0,06² = 39,96 N

Векторная сумма

F = √(5,394² + 39,96²) = 40,32 N

Ответ

F = 40,32 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 21,83 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 10 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 2·22/(2+22) = 1,833 Ω

R_eq = R₁ + 1,833 = 20 + 1,833 = 21,83 Ω

Ответ

R_eq = 21,83 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,587 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 30 + 15 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 8,182 Ω

R₃ + 8,182 = 11,18 Ω

R₂ ∥ 11,18 = 3,905 Ω

R_eq = R₁ + 3,905 = 15 + 3,905 = 18,9 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/18,9 = 1,587 A

Ответ

I_R1 = 1,587 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 1,386 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 100 mH / 100 Ω = 1 ms

Выразите время

0,5 = 2·e^−t/τ → t = τ·ln(2/0,5)

t = 1·ln(4) = 1,386 ms

Ответ

t = 1,386 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 10,44 V

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

v_C(0) = 30·4,7/(4,7 + 4,7) = 15 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R₂·C = 4,7·47 = 220,9 ms

Разряд

v_C(t) = 15·e^−80/220,9 = 10,44 V

Ответ

v_C = 10,44 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: против часовой стрелки

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока

Поток в плоскость страницы возрастает, или поток из плоскости страницы убывает.

Поле индукционного тока

Индукционный ток противодействует изменению.

Индуцированное поле внутри контура: из плоскости страницы.

Направление тока

Правило правой руки: ток против часовой стрелки создаёт внутри контура поле, направленное из плоскости страницы.

против часовой стрелки

Ответ

против часовой стрелки

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 0,8077 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Скорость после ускорения

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·1000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 309537 m/s

Радиус в поле

r = mv/(|q|B) = 0,008077 m = 0,8077 cm

Ответ

r = 0,8077 cm

Вместе: r = √(2mV/|q|)/B, поэтому более тяжёлые ионы с тем же зарядом движутся по окружностям большего радиуса; так разделяют изотопы.

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: L = 25,33 mH

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(6283²·1·10⁻⁶) = 25,33 mH

Ответ

L = 25,33 mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_C = 0,4491 V

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,25 = 785,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (770,9)²) = 773,3 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 24/773,3 = 0,03104 A

Напряжение на конденсаторе

V_C = I·X_C = 0,03104·14,47 = 0,4491 V

Ответ

V_C = 0,4491 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism