Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точечного заряда
E = k·|q|/r²
Постоянная
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд
F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод
B = μ0I/(2πr)
Центр плоской катушки
B = μ0NI/(2R)
Длинный соленоид
B = μ0nI, n = N/L
Постоянная
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод
F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд
F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Поток
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Индуктивность
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор скоростей и спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
  2. Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
  4. Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
−−10 µC−−4 µC−−10 µC2,5 cm + 7,5 cm

Три точечных заряда лежат на одной прямой: −10 µC слева, −10 µC справа на расстоянии 10 cm и −4 µC между ними, на расстоянии 2,5 cm от левого заряда. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на средний заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = −10 µCqR = −10 µCqM = −4 µCrL = 2,5 cmrR = 7,5 cm
F = N
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
L = 20 cm5°qq

Два одинаковых маленьких шарика массой 3 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 20 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 5° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 20 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAR4​20 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 8 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 3 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​30 ΩAR4​30 ΩBR6​3 Ω

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 30 ΩR3 = 3 ΩR4 = 30 ΩR5 = 12 ΩR6 = 3 Ω
IR1 = A
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​10 Vt = 0R = 10 ΩL22 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 50% конечного значения? Найдите t.

Vs = 10 VR = 10 ΩL = 22 mH
t = ms
6.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​6 Vt = 0R = 4,7 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 18 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 8,4 V? Найдите t.

Vs = 6 VR = 4,7 kΩC = 47 µFvC(0) = 18 V
t = ms
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
5 A15 Ad = 8 cm

Два длинных параллельных провода на расстоянии 8 cm друг от друга проводят токи 5 A и 15 A в противоположных направлениях. Найдите силу на метр длины F/L между ними.

I1 = 5 AI2 = 15 Ad = 8 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.Магнитные поля и индукцияСложная
L1​ = 10 mH50 A/sL2​ = 5 mHk = 0,9ε = ?

Две катушки с индуктивностями 10 mH и 5 mH имеют коэффициент связи 0,9. Ток в первой катушке меняется со скоростью 50 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую во второй катушке.

L1 = 10 mHL2 = 5 mHk = 0,9di/dt = 50 A/s
ε = V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
10 V100 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
12 V100 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF+−VC​

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение напряжения VC на конденсаторе.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF
VC = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 511,4 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила от каждого заряда

Направление вправо положительно.

FL = +k·10·4 × 10⁻¹²/0,025² = 575,4 N
FR = −k·10·4 × 10⁻¹²/0,075² = −63,93 N

Результирующая сила

F = 575,4 + (−63,93) = 511,4 N → |F| = 511,4 N

Ответ

F = 511,4 N

Результирующая сила направлена вправо.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 18,66 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 5° = 0,002575 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 5° = 0,03486 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,03486·√(0,002575/8,99 × 10⁹) = 1,866 × 10⁻⁸ C = 18,66 nC

Ответ

q = 18,66 nC
3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 0,7258 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAR4​20 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 8 + 20 = 28 Ω
R2 ∥ 28 = 12·28/(12+28) = 8,4 Ω
Req = R1 + 8,4 = 4 + 8,4 = 12,4 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 9/12,4 = 0,7258 A

Ответ

IR1 = 0,7258 A
4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 0,8285 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 3 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​30 ΩAR4​30 ΩBR6​3 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 12 + 3 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 10 Ω
R3 + 10 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 9,07 Ω
Req = R1 + 9,07 = 3 + 9,07 = 12,07 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 10/12,07 = 0,8285 A

Ответ

IR1 = 0,8285 A
5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 1,525 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2,2 ms
i(∞) = Vs/R = 10/10 = 1 A

Выразите время

0,5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)
t = −2,2·ln(0,5) = 1,525 ms

Ответ

t = 1,525 ms
6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 355,5 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 47 µF = 220,9 ms
vC(t) = 6 + (18 − 6)·e−t/τ

Выразите время

8,4 = 6 + (12)·e−t/τ → e−t/τ = (8,4 − 6)/(18 − 6) = 0,2
t = τ·ln((18 − 6)/(8,4 − 6)) = 220,9·ln(5) = 355,5 ms

Ответ

t = 355,5 ms
7.Магнитные поля и индукция

Ответ: F/L = 187,5 µN/m

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Сила на метр

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·5·15/0,08 = 187,5 µN/m

Ответ

F/L = 187,5 µN/m

Токи противоположных направлений отталкиваются.

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 0,3182 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Взаимная индуктивность

M = 0,9·√(10·5) = 6,364 mH

ЭДС индукции

ε = M·di/dt = 0,006364·50 = 0,3182 V

Ответ

ε = 0,3182 V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −85,97 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−213)²) = 213,5 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−213/15) = −85,97°

Ответ

φ = −85,97°
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: VC = 16,6 V

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−244,4)²) = 244,8 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/244,8 = 0,04901 A

Напряжение на конденсаторе

VC = I·XC = 0,04901·338,6 = 16,6 V

Ответ

VC = 16,6 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism