Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +3 µC и заряд +2 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 15 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +3 µCq₂ = +2 µCr₁ = 15 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 5 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 5 µC — на расстоянии 4 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 3 µC — на расстоянии 3 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 3 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 50 ms, в mJ.

V_s = 9 VR = 5 ΩL = 220 mHt = 50 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 12 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 6 V, ровно через 50 ms после старта. При C = 100 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 12 VV_th = 6 VT = 50 msC = 100 µF

R = kΩ

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 20 витков площадью 20 cm² и сопротивлением 2 Ω образует замкнутую цепь. Однородное поле, перпендикулярное катушке, равномерно растёт от 0 T до 0,6 T за 10 ms. Найдите средний индукционный ток I.

N = 20A = 20 cm²B: 0 T → 0,6 TΔt = 10 msR = 2 Ω

I = A

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 200 витков размером 8 cm × 25 cm вращается в однородном поле 0,2 T вокруг оси, перпендикулярной полю. С какой скоростью n (в оборотах в минуту) она должна вращаться, чтобы действующее значение ЭДС составляло 88,86 V?

N = 200A = 8 cm × 25 cmB = 0,2 TE_rms = 88,86 V

n = rpm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите активную мощность P, потребляемую от источника.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

P = W

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 1000 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 5,993 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,15² = 1,199 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,05² = 7,192 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |1,199 × 10⁶ − 7,192 × 10⁶| = 5,993 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 5,993 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 205,4 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·5·5 × 10⁻¹²/0,04² = 140,5 N

F₂ = k·3·5 × 10⁻¹²/0,03² = 149,8 N

Векторная сумма

F = √(140,5² + 149,8²) = 205,4 N

Ответ

F = 205,4 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,8675 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 5 + 3 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 2·8/(2+8) = 1,6 Ω

R_eq = R₁ + 1,6 = 15 + 1,6 = 16,6 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/16,6 = 1,084 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,084·15 = 1,735 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,735/2 = 0,8675 A

Ответ

I_R2 = 0,8675 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,7967 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 8 + 12 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 4 Ω

R₃ + 4 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 6,552 Ω

R_eq = R₁ + 6,552 = 6 + 6,552 = 12,55 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/12,55 = 0,7967 A

Ответ

I_R1 = 0,7967 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 164,3 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 220 mH / 5 Ω = 44 ms

i(∞) = V_s/R = 9/5 = 1,8 A

Ток в заданный момент

i(t) = 1,8·(1 − e^−50/44) = 1,222 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·220·1,222² = 164,3 mJ

Ответ

W = 164,3 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 0,7213 kΩ

Требуемая постоянная времени

6 = 12·(1 − e^−50/τ) → τ = 50/ln(12/(12 − 6))

τ = 50/0,6931 = 72,13 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 72,13/100 = 0,7213 kΩ

Ответ

R = 0,7213 kΩ

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: I = 1,2 A

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = (0,6 − 0)·0,002 = 0,0012 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,0012/0,01 = 2,4 V

Ток

I = ε/R = 2,4/2 = 1,2 A

Ответ

I = 1,2 A

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: n = 1500 rpm

Амплитудная ЭДС

E₀ = √2·E_rms = 125,7 V

Угловая скорость

ω = E₀/(NBA) = 125,7/(200·0,2·0,02) = 157,1 rad/s

Обороты в минуту

n = 60·157,1/(2π) = 1500 rpm

Ответ

n = 1500 rpm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: P = 0,4041 W

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

X_L = 251,3 Ω, X_C = 169,3 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(20² + (82,01)²) = 84,42 Ω

Активная мощность

Катушки и конденсаторы только запасают и возвращают энергию; всю активную мощность потребляет резистор.

I = 12/84,42 = 0,1422 A

P = I²·R = 0,1422²·20 = 0,4041 W

Ответ

P = 0,4041 W

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 1,642 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (53,32)²) = 73,1 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 120/73,1 = 1,642 A

Ответ

I = 1,642 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism