Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точечного заряда
E = k·|q|/r²
Постоянная
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд
F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод
B = μ0I/(2πr)
Центр плоской катушки
B = μ0NI/(2R)
Длинный соленоид
B = μ0nI, n = N/L
Постоянная
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод
F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд
F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Поток
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Индуктивность
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор скоростей и спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
  2. Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
  4. Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
++5 µC++4 µCr = 40 cm

Два одинаковых маленьких металлических шарика имеют заряды +5 µC и +4 µC. Их приводят в соприкосновение, а затем снова располагают на расстоянии 40 cm. Найдите модуль силы F взаимодействия между ними теперь. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +5 µCq2 = +4 µCr = 40 cm
F = N
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
L = 100 cm8°qq

Два одинаковых маленьких шарика массой 5 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 100 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 8° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 100 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​12 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 25 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAR4​3 ΩBR6​20 Ω

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 15 VR1 = 25 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 3 ΩR5 = 3 ΩR6 = 20 Ω
Req = Ω
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​12 Vt = 0R = 22 ΩL33 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W(∞), запасённую в катушке после установления режима, в mJ.

Vs = 12 VR = 22 ΩL = 33 mH
W(∞) = mJ
6.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​10 Vразмыкается при t = 0R1​ = 3,3 kΩR2​ = 2,2 kΩi2​C10 µF+−vC​

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i2 через R2 при t = 15 ms.

Vs = 10 VR1 = 3,3 kΩR2 = 2,2 kΩC = 10 µFt = 15 ms
i2 = mA
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
nBA = 40 cm², N = 50B = 0,8 T

Катушка из 50 витков имеет площадь 40 cm². Катушку переворачивают (поворачивают на 180°) в однородном поле 0,8 T, перпендикулярном её плоскости, за 500 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 50A = 40 cm²B = 0,8 TΔt = 500 ms
ε = mV
8.Магнитные поля и индукцияСложная
l = 40 cmN = 400, ⌀ 5 cm

Длинный соленоид без сердечника имеет 400 витков, длину 40 cm и диаметр 5 cm. Найдите его индуктивность L.

N = 400l = 40 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
50 V50 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 47 µF

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 47 µF
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
50 V500 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 47 µF

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите резонансную частоту f0 цепи.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 47 µF
f0 = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 1,138 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд после соприкосновения

q′ = (5 + 4)/2 = 4,5 µC

Новая сила

F = 8,99 × 10⁹·(4,5 × 10⁻⁶)²/0,4² = 1,138 N

Ответ

F = 1,138 N

Теперь заряды шариков одного знака, поэтому они отталкиваются.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 243,7 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 8° = 0,006894 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 8° = 0,2783 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2783·√(0,006894/8,99 × 10⁹) = 2,437 × 10⁻⁷ C = 243,7 nC

Ответ

q = 243,7 nC
3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 1,293 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 2 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​12 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 10 + 12 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 3·22/(3+22) = 2,64 Ω
Req = R1 + 2,64 = 2 + 2,64 = 4,64 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 6/4,64 = 1,293 A

Ответ

IR1 = 1,293 A
4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 26,48 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 25 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAR4​3 ΩBR6​20 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 3 + 20 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 2,654 Ω
R3 + 2,654 = 5,654 Ω
R2 ∥ 5,654 = 1,477 Ω
Req = R1 + 1,477 = 25 + 1,477 = 26,48 Ω

Ответ

Req = 26,48 Ω
5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W(∞) = 4,909 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1,5 ms
i(∞) = Vs/R = 12/22 = 0,5455 A

Запасённая энергия

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·33·0,5455² = 4,909 mJ

Ответ

W(∞) = 4,909 mJ
6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i2 = 0,9194 mA

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

vC(0) = 10·2,2/(3,3 + 2,2) = 4 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R2·C = 2,2·10 = 22 ms

Разряд

vC(t) = 4·e−15/22 = 2,023 V
i2 = vC/R2 = 2,023/2,2 = 0,9194 mA

Ответ

i2 = 0,9194 mA
7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 640 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 2·0,8·0,004 = 0,0064 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0064/0,5 = 0,64 V

Ответ

ε = 640 mV
8.Магнитные поля и индукция

Ответ: L = 987 µH

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Поперечное сечение

A = π·(0,025)² = 0,001963 m²

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·400²·0,001963/0,4 = 0,000987 H = 987 µH

Ответ

L = 987 µH
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −45,85 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,15 = 47,12 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−20,6)²) = 28,71 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−20,6/20) = −45,85°

Ответ

φ = −45,85°
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f0 = 59,94 Hz

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·47·10⁻⁶)) = 59,94 Hz

Ответ

f0 = 59,94 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism