Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Два одинаковых маленьких металлических шарика имеют заряды −5 µC и +10 µC. Их приводят в соприкосновение, а затем снова располагают на расстоянии 5 cm. Найдите модуль силы F взаимодействия между ними теперь. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −5 µCq₂ = +10 µCr = 5 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Два одинаковых маленьких шарика массой 10 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 60 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 15° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 60 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 30 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 20 ms.

V_s = 9 VR = 10 ΩL = 100 mHt = 20 ms

v_L = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 3 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 4,2 V? Найдите t.

V_s = 6 VR = 4,7 kΩC = 47 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 10 витков имеет площадь 20 cm². Катушка находится в однородном поле 0,8 T, перпендикулярном её плоскости, и поле выключается за 200 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 10A = 20 cm²B = 0,8 TΔt = 200 ms

ε = mV

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Две катушки с индуктивностями 100 mH и 200 mH имеют коэффициент связи 0,4. Ток в первой катушке меняется со скоростью 100 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую во второй катушке.

L₁ = 100 mHL₂ = 200 mHk = 0,4di/dt = 100 A/s

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 12 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩC = 47 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 1 Ω, L = 1 mH и C = 1 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 1 ΩL = 1 mHC = 1 µF

B = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 22,47 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд после соприкосновения

q′ = (−5 + 10)/2 = 2,5 µC

Новая сила

F = 8,99 × 10⁹·(2,5 × 10⁻⁶)²/0,05² = 22,47 N

Ответ

F = 22,47 N

Теперь заряды шариков одного знака, поэтому они отталкиваются.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 531,1 nC

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 15° = 0,02629 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,6·sin 15° = 0,3106 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,3106·√(0,02629/8,99 × 10⁹) = 5,311 × 10⁻⁷ C = 531,1 nC

Ответ

q = 531,1 nC

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 3,659 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 15 + 4 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 6·19/(6+19) = 4,56 Ω

R_eq = R₁ + 4,56 = 2 + 4,56 = 6,56 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/6,56 = 3,659 A

Ответ

I_R1 = 3,659 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 35,95 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 2 + 12 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 6,462 Ω

R₃ + 6,462 = 8,462 Ω

R₂ ∥ 8,462 = 5,946 Ω

R_eq = R₁ + 5,946 = 30 + 5,946 = 35,95 Ω

Ответ

R_eq = 35,95 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 1,218 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 100 mH / 10 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 9/10 = 0,9 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 9·e^−20/10 = 1,218 V

Ответ

v_L = 1,218 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 112,8 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 47 µF = 220,9 ms

v_C(t) = 6 + (3 − 6)·e^−t/τ

Выразите время

4,2 = 6 + (−3)·e^−t/τ → e^−t/τ = (4,2 − 6)/(3 − 6) = 0,6

t = τ·ln((3 − 6)/(4,2 − 6)) = 220,9·ln(1,667) = 112,8 ms

Ответ

t = 112,8 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 80 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 0,8·0,002 = 0,0016 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,0016/0,2 = 0,08 V

Ответ

ε = 80 mV

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 5,657 V

Взаимная индуктивность

M = 0,4·√(100·200) = 56,57 mH

ЭДС индукции

ε = M·di/dt = 0,05657·100 = 5,657 V

Ответ

ε = 5,657 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −77,28 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 12/30 = 0,4 A

I_X = V/X_C = 12/6,773 = 1,772 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,4² + 1,772²) = 1,816 A

Угол сдвига фаз

Ток конденсатора опережает V, поэтому общий ток опережает и угол отрицателен.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(1,772/0,4) = −77,28°

Ответ

φ = −77,28°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 159,2 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,001·1·10⁻⁶)) = 5033 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/1)·√(0,001/(1·10⁻⁶)) = 31,62

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 5033/31,62 = 159,2 Hz

Ответ

B = 159,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism