Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +5 µC и заряд +4 µC находятся на расстоянии 60 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 36 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +5 µCq₂ = +4 µCr₁ = 36 cmr₂ = 24 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 3 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 8 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 10 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 8 µCq₂ = 10 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 200 ms.

V_s = 12 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 220 µFt = 200 ms

v_C = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 300 ms.

V_s = 15 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 33 µFt = 300 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 10 витков имеет площадь 150 cm². Однородное поле, перпендикулярное катушке, равномерно растёт от 0 T до 0,8 T за 500 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 10A = 150 cm²B: 0 T → 0,8 TΔt = 500 ms

ε = mV

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Протон проходит без отклонения через селектор скоростей со скрещёнными полями E = 4 × 10⁴ V/m и B₁ = 0,4 T. Затем он влетает под прямым углом во вторую область, где есть только магнитное поле B₂ = 0,25 T. Найдите радиус r его траектории там.

E = 4 × 10⁴ V/mB₁ = 0,4 TB₂ = 0,25 Tm = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с C = 0,1 µF должен резонировать на частоте 5000 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.

f₀ = 5000 HzC = 0,1 µF

L = mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 2 Ω, L = 100 mH и C = 2,2 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 2 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

B = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 277469 N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,36² = 346836 N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,24² = 624306 N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |346836 − 624306| = 277469 N/C

Ответ

E = 277469 N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 34,54 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·8·3 × 10⁻¹²/0,1² = 21,58 N

F₂ = k·10·3 × 10⁻¹²/0,1² = 26,97 N

Векторная сумма

F = √(21,58² + 26,97²) = 34,54 N

Ответ

F = 34,54 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 21 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 3 + 12 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 10·15/(10+15) = 6 Ω

R_eq = R₁ + 6 = 15 + 6 = 21 Ω

Ответ

R_eq = 21 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,7534 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 3 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 5,714 Ω

R₃ + 5,714 = 15,71 Ω

R₂ ∥ 15,71 = 6,111 Ω

R_eq = R₁ + 6,111 = 2 + 6,111 = 8,111 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/8,111 = 1,233 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 1,233·2 = 7,534 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,534/10 = 0,7534 A

Ответ

I_R2 = 0,7534 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 2,389 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 3,3·2,2/(3,3 + 2,2) = 1,32 kΩ

v_C(∞) = 12·2,2/(3,3 + 2,2) = 4,8 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 1,32·220 = 290,4 ms

Кривая заряда

v_C(t) = 4,8·(1 − e^−200/290,4) = 2,389 V

Ответ

v_C = 2,389 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 0,3118 V

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

v_C(0) = 15·3,3/(6,8 + 3,3) = 4,901 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R₂·C = 3,3·33 = 108,9 ms

Разряд

v_C(t) = 4,901·e^−300/108,9 = 0,3118 V

Ответ

v_C = 0,3118 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 240 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = (0,8 − 0)·0,015 = 0,012 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,012/0,5 = 0,24 V

Ответ

ε = 240 mV

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 0,4177 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Выбираемая скорость

Без отклонения: электрическая сила qE уравновешивает магнитную силу qvB.

v = E/B₁ = 4 × 10⁴/0,4 = 100000 m/s

Радиус во втором поле

r = mv/(|q|B₂) = 0,004177 m = 0,4177 cm

Ответ

r = 0,4177 cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: L = 10,13 mH

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·0,1·10⁻⁶) = 10,13 mH

Ответ

L = 10,13 mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 3,183 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,1·2,2·10⁻⁶)) = 339,3 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,1/(2,2·10⁻⁶)) = 106,6

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 339,3/106,6 = 3,183 Hz

Ответ

B = 3,183 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism