Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +10 µC и +3 µC находятся на расстоянии 100 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +10 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +10 µCq₂ = +3 µCd = 100 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 3 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 3 µC — на расстоянии 3 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 3 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 3 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 25 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 2,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите ток i в момент t = 5 ms.

i(0) = 2,5 AR = 68 ΩL = 220 mHt = 5 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 20 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 22 V? Найдите t.

V_s = 24 VR = 10 kΩC = 47 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 100 витков имеет площадь 40 cm². Катушку переворачивают (поворачивают на 180°) в однородном поле 0,5 T, перпендикулярном её плоскости, за 10 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 100A = 40 cm²B = 0,5 TΔt = 10 ms

ε = V

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Длинный соленоид без сердечника имеет 1000 витков, длину 30 cm и диаметр 2,5 cm. Найдите энергию W, запасённую в его магнитном поле, когда по нему течёт ток 3 A.

N = 1000l = 30 cm⌀ = 2,5 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите резонансную частоту f₀ цепи.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

f₀ = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 64,61 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

10/x² = 3/(100 − x)²

(100 − x)/x = √(3/10) = 0,5477

Положение

x = 100/(1 + 0,5477) = 64,61 cm

Ответ

x = 64,61 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 90,78 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·3·3 × 10⁻¹²/0,03² = 89,9 N

F₂ = k·3·3 × 10⁻¹²/0,08² = 12,64 N

Векторная сумма

F = √(89,9² + 12,64²) = 90,78 N

Ответ

F = 90,78 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 13,77 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 20 + 8 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 15·28/(15+28) = 9,767 Ω

R_eq = R₁ + 9,767 = 4 + 9,767 = 13,77 Ω

Ответ

R_eq = 13,77 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,5897 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 30 + 15 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 2,813 Ω

R₃ + 2,813 = 17,81 Ω

R₂ ∥ 17,81 = 8,143 Ω

R_eq = R₁ + 8,143 = 25 + 8,143 = 33,14 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/33,14 = 1,086 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 1,086·25 = 8,845 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,845/15 = 0,5897 A

Ответ

I_R2 = 0,5897 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,533 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 220 mH / 68 Ω = 3,235 ms

Убывание тока

i(t) = 2,5·e^−5/3,235 = 0,533 A

Ответ

i = 0,533 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 325,8 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms

v_C(t) = 24 + (20 − 24)·e^−t/τ

Выразите время

22 = 24 + (−4)·e^−t/τ → e^−t/τ = (22 − 24)/(20 − 24) = 0,5

t = τ·ln((20 − 24)/(22 − 24)) = 470·ln(2) = 325,8 ms

Ответ

t = 325,8 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 40 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 2·0,5·0,004 = 0,004 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,004/0,01 = 40 V

Ответ

ε = 40 V

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: W = 9,253 mJ

Индуктивность

L = μ₀N²A/l = 2,056 mH

Запасённая энергия

W = ½LI² = ½·0,002056·3² = 0,009253 J = 9,253 mJ

Ответ

W = 9,253 mJ

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,3467 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·2,2·10⁻⁶) = 723,4 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−660,6)²) = 663,3 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/663,3 = 0,3467 A

Ответ

I = 0,3467 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f₀ = 164,2 Hz

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·4,7·10⁻⁶)) = 164,2 Hz

Ответ

f₀ = 164,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism