Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точечного заряда
E = k·|q|/r²
Постоянная
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд
F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод
B = μ0I/(2πr)
Центр плоской катушки
B = μ0NI/(2R)
Длинный соленоид
B = μ0nI, n = N/L
Постоянная
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод
F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд
F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Поток
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Индуктивность
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор скоростей и спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
  2. Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
  4. Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
++3 µC++6 µCP30 cm

Заряд +3 µC и заряд +6 µC находятся на расстоянии 30 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 12 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q1 = +3 µCq2 = +6 µCr1 = 12 cmr2 = 18 cm
E = N/C
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
+−P2 × 5 cm10 cm+2 µC−2 µC

Заряды +2 µC и −2 µC находятся на расстоянии 10 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 10 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +2 µCq2 = −2 µCd = 10 cmh = 10 cm
E = N/C
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​10 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​36 VR2​3 ΩAR4​2 ΩBR6​2 Ω

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 36 VR1 = 15 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 ΩR4 = 2 ΩR5 = 2 ΩR6 = 2 Ω
IR1 = A
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​12 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 4,7 kΩC47 µF+−vC​

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите постоянную времени τ цепи после замыкания ключа.

Vs = 12 VR1 = 1 kΩR2 = 4,7 kΩC = 47 µF
τ = ms
6.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​12 Vразмыкается при t = 0R1​ = 10 kΩR2​ = 1 kΩi2​C47 µF+−vC​

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i2 через R2 при t = 60 ms.

Vs = 12 VR1 = 10 kΩR2 = 1 kΩC = 47 µFt = 60 ms
i2 = mA
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
dB/dt < 0I = ?

Круговой контур находится в однородном магнитном поле, направленном в плоскость страницы. Индукция поля убывает. Нажмите на направление индукционного тока в контуре, как оно видно на рисунке.

B: в плоскость страницыdB/dt < 0
  1. 1по часовой стрелке
  2. 2против часовой стрелки
8.Магнитные поля и индукцияСложная
N1​ = 800, l = 20 cm20 A/sN2​ = 20Mε = ?

Короткая катушка из 20 витков плотно намотана на середину длинного соленоида из 800 витков длиной 20 cm и диаметром 3 cm. Ток в соленоиде меняется со скоростью 20 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую в короткой катушке.

N1 = 800N2 = 20l = 20 cm⌀ = 3 cmdi/dt = 20 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
ε = mV
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Vf0​ = 500 HzRL = 50 mHC = ?

Последовательный RLC-контур с L = 50 mH должен резонировать на частоте 500 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f0 = 500 HzL = 50 mH
C = µF
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
1 Vf0​R = 10 ΩL = 10 mHC = 0,1 µF

Последовательный RLC-контур питается от источника 1 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение VL на катушке.

V = 1 V (rms)R = 10 ΩL = 10 mHC = 0,1 µF
VL = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 208102 N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E1 = k·3 × 10⁻⁶/0,12² = 1,873 × 10⁶ N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,18² = 1,665 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |1,873 × 10⁶ − 1,665 × 10⁶| = 208102 N/C

Ответ

E = 208102 N/C
2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,287 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Расстояние и поле одного заряда

r = √(5² + 10²) = 11,18 cm
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,1118² = 1,438 × 10⁶ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль серединного перпендикуляра компенсируются.

E = 2·E1·(a/r) = 2·1,438 × 10⁶·0,4472 = 1,287 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 1,287 × 10⁶ N/C

Поле направлено параллельно прямой от положительного заряда к отрицательному.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 0,6 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 15 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​10 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 10 + 10 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 20·20/(20+20) = 10 Ω
Req = R1 + 10 = 15 + 10 = 25 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 15/25 = 0,6 A

Ответ

IR1 = 0,6 A
4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 2,063 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 15 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​36 VR2​3 ΩAR4​2 ΩBR6​2 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 2 + 2 = 4 Ω
R4 ∥ 4 = 1,333 Ω
R3 + 1,333 = 13,33 Ω
R2 ∥ 13,33 = 2,449 Ω
Req = R1 + 2,449 = 15 + 2,449 = 17,45 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 36/17,45 = 2,063 A

Ответ

IR1 = 2,063 A
5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: τ = 38,75 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

Rth = R1 ∥ R2 = 1·4,7/(1 + 4,7) = 0,8246 kΩ
vC(∞) = 12·4,7/(1 + 4,7) = 9,895 V

Постоянная времени

τ = Rth·C = 0,8246·47 = 38,75 ms

Ответ

τ = 38,75 ms
6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i2 = 0,3043 mA

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

vC(0) = 12·1/(10 + 1) = 1,091 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R2·C = 1·47 = 47 ms

Разряд

vC(t) = 1,091·e−60/47 = 0,3043 V
i2 = vC/R2 = 0,3043/1 = 0,3043 mA

Ответ

i2 = 0,3043 mA
7.Магнитные поля и индукция

Ответ: по часовой стрелке

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока

Поток из плоскости страницы возрастает, или поток в плоскость страницы убывает.

Поле индукционного тока

Индукционный ток противодействует изменению.

Индуцированное поле внутри контура: в плоскость страницы.

Направление тока

Правило правой руки: ток против часовой стрелки создаёт внутри контура поле, направленное из плоскости страницы.

по часовой стрелке

Ответ

по часовой стрелке
8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 1,421 mV

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Взаимная индуктивность

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·800·20·0,0007069/0,2 = 71,06 µH

ЭДС индукции

ε = M·di/dt = 7,106 × 10⁻⁵·20 = 1,421 mV

Ответ

ε = 1,421 mV
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 2,026 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,05) = 2,026 µF

Ответ

C = 2,026 µF
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: VL = 31,62 V

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·0,1·10⁻⁶) = 31623 rad/s
I = V/R = 1/10 = 0,1 A

Напряжение на катушке

XL = ω₀L = 31623·0,01 = 316,2 Ω
VL = I·XL = 0,1·316,2 = 31,62 V

Ответ

VL = 31,62 V

Это в Q = 31,62 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism