Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точечного заряда
E = k·|q|/r²
Постоянная
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд
F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод
B = μ0I/(2πr)
Центр плоской катушки
B = μ0NI/(2R)
Длинный соленоид
B = μ0nI, n = N/L
Постоянная
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод
F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд
F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Поток
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Индуктивность
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор скоростей и спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
  2. Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
  4. Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
++10 µC++5 µCP40 cm

Заряд +10 µC и заряд +5 µC находятся на расстоянии 40 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 10 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q1 = +10 µCq2 = +5 µCr1 = 10 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
+−P2 × 5 cm3 cm+6 µC−6 µC

Заряды +6 µC и −6 µC находятся на расстоянии 10 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 3 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +6 µCq2 = −6 µCd = 10 cmh = 3 cm
E = N/C
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​8 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 18 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 5 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩIR2​AR4​8 ΩBR6​12 Ω

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 25 ΩR4 = 8 ΩR5 = 12 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​15 Vt = 0R = 50 ΩL22 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

Vs = 15 VR = 50 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
6.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​10 Vt = 0R = 4,7 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 4 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 150 ms.

Vs = 10 VR = 4,7 kΩC = 47 µFvC(0) = 4 Vt = 150 ms
vC = V
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
nBA = 100 cm², N = 200B: 0 → 0,6 T

Катушка из 200 витков площадью 100 cm² и сопротивлением 8 Ω образует замкнутую цепь. Однородное поле, перпендикулярное катушке, равномерно растёт от 0 T до 0,6 T за 100 ms. Найдите средний индукционный ток I.

N = 200A = 100 cm²B: 0 T → 0,6 TΔt = 100 msR = 8 Ω
I = A
8.Магнитные поля и индукцияСложная
V = 500 VB = 0,1 Tr = ?

Дейтрон начинает движение из состояния покоя, ускоряется разностью потенциалов 500 V и затем влетает в однородное магнитное поле 0,1 T под прямым углом. Найдите радиус r его траектории в поле.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 500 VB = 0,1 T
r = cm
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
12 V500 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 2,2 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
12 Vf0​R = 20 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

Последовательный RLC-контур питается от источника 12 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение VL на катушке.

V = 12 V (rms)R = 20 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF
VL = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 8,491 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,1² = 8,99 × 10⁶ N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0,3² = 499444 N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |8,99 × 10⁶ − 499444| = 8,491 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 8,491 × 10⁶ N/C
2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 2,721 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Расстояние и поле одного заряда

r = √(5² + 3²) = 5,831 cm
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0,05831² = 1,586 × 10⁷ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль серединного перпендикуляра компенсируются.

E = 2·E1·(a/r) = 2·1,586 × 10⁷·0,8575 = 2,721 × 10⁷ N/C

Ответ

E = 2,721 × 10⁷ N/C

Поле направлено параллельно прямой от положительного заряда к отрицательному.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 2,077 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAR4​8 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 2 + 8 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 20·10/(20+10) = 6,667 Ω
Req = R1 + 6,667 = 2 + 6,667 = 8,667 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 18/8,667 = 2,077 A

Ответ

IR1 = 2,077 A
4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 1,11 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 5 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAR4​8 ΩBR6​12 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 12 + 12 = 24 Ω
R4 ∥ 24 = 6 Ω
R3 + 6 = 31 Ω
R2 ∥ 31 = 4,306 Ω
Req = R1 + 4,306 = 5 + 4,306 = 9,306 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 12/9,306 = 1,29 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1,29·5 = 5,552 V
IR2 = VA/R2 = 5,552/5 = 1,11 A

Ответ

IR2 = 1,11 A
5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,2691 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 22 mH / 50 Ω = 0,44 ms
i(∞) = Vs/R = 15/50 = 0,3 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,3·(1 − e−1/0,44) = 0,2691 A

Ответ

i = 0,2691 A
6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 6,957 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 47 µF = 220,9 ms
vC(t) = 10 + (4 − 10)·e−t/τ

Напряжение в заданный момент

vC(150) = 10 + (−6)·e−150/220,9 = 6,957 V

Ответ

vC = 6,957 V
7.Магнитные поля и индукция

Ответ: I = 1,5 A

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = (0,6 − 0)·0,01 = 0,006 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,006/0,1 = 12 V

Ток

I = ε/R = 12/8 = 1,5 A

Ответ

I = 1,5 A
8.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 4,569 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Скорость после ускорения

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·500/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 218876 m/s

Радиус в поле

r = mv/(|q|B) = 0,04569 m = 4,569 cm

Ответ

r = 4,569 cm

Вместе: r = √(2mV/|q|)/B, поэтому более тяжёлые ионы с тем же зарядом движутся по окружностям большего радиуса; так разделяют изотопы.

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,1424 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−81,85)²) = 84,26 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 12/84,26 = 0,1424 A

Ответ

I = 0,1424 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: VL = 39,14 V

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·4,7·10⁻⁶) = 3262 rad/s
I = V/R = 12/20 = 0,6 A

Напряжение на катушке

XL = ω₀L = 3262·0,02 = 65,23 Ω
VL = I·XL = 0,6·65,23 = 39,14 V

Ответ

VL = 39,14 V

Это в Q = 3,262 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism