Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +8 µC и заряд +4 µC находятся на расстоянии 30 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 18 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +8 µCq₂ = +4 µCr₁ = 18 cmr₂ = 12 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Заряды +1 µC и +1 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 4 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = +1 µCd = 20 cmh = 4 cm

E = N/C

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 6 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 75% конечного значения? Найдите t.

V_s = 10 VR = 100 ΩL = 220 mH

t = ms

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 8 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 300 ms.

V_s = 10 VR = 4,7 kΩC = 22 µFv_C(0) = 8 Vt = 300 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Катушка из 200 витков имеет площадь 40 cm². Катушку переворачивают (поворачивают на 180°) в однородном поле 0,5 T, перпендикулярном её плоскости, за 50 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.

N = 200A = 40 cm²B = 0,5 TΔt = 50 ms

ε = V

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 500 витков размером 5 cm × 5 cm вращается с частотой 3600 rpm в однородном поле 0,05 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите действующее значение E_rms ЭДС.

N = 500A = 5 cm × 5 cmB = 0,05 Tn = 3600 rpm

E_rms = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с L = 1 mH должен резонировать на частоте 50 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f₀ = 50 HzL = 1 mH

C = µF

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 12 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 12 V (rms)R = 10 ΩL = 5 mHC = 0,1 µF

V_L = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 277469 N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,18² = 2,22 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,12² = 2,497 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |2,22 × 10⁶ − 2,497 × 10⁶| = 277469 N/C

Ответ

E = 277469 N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 575656 N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Расстояние и поле одного заряда

r = √(10² + 4²) = 10,77 cm

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,1077² = 775000 N/C

Составляющие

Составляющие вдоль соединяющей заряды прямой компенсируются.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·775000·0,3714 = 575656 N/C

Ответ

E = 575656 N/C

Поле направлено вдоль серединного перпендикуляра, от зарядов.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 30,48 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 20 + 2 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 20·22/(20+22) = 10,48 Ω

R_eq = R₁ + 10,48 = 20 + 10,48 = 30,48 Ω

Ответ

R_eq = 30,48 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,1551 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 20 + 5 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 4,167 Ω

R₃ + 4,167 = 8,167 Ω

R₂ ∥ 8,167 = 6,419 Ω

R_eq = R₁ + 6,419 = 6 + 6,419 = 12,42 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/12,42 = 0,7247 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,7247·6 = 4,652 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,652/30 = 0,1551 A

Ответ

I_R2 = 0,1551 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 3,05 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 220 mH / 100 Ω = 2,2 ms

i(∞) = V_s/R = 10/100 = 0,1 A

Выразите время

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −2,2·ln(0,25) = 3,05 ms

Ответ

t = 3,05 ms

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 9,89 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 22 µF = 103,4 ms

v_C(t) = 10 + (8 − 10)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(300) = 10 + (−2)·e^−300/103,4 = 9,89 V

Ответ

v_C = 9,89 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 16 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока на виток

ΔΦ = 2·0,5·0,004 = 0,004 Wb

Средняя ЭДС

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,004/0,05 = 16 V

Ответ

ε = 16 V

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E_rms = 16,66 V

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0,0025 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 500·0,05·0,0025·377 = 23,56 V

Действующее значение

E_rms = 23,56/√2 = 16,66 V

Ответ

E_rms = 16,66 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 10132 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314,2²·0,001) = 10132 µF

Ответ

C = 10132 µF

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 268,3 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,1·10⁻⁶) = 44721 rad/s

I = V/R = 12/10 = 1,2 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 44721·0,005 = 223,6 Ω

V_L = I·X_L = 1,2·223,6 = 268,3 V

Ответ

V_L = 268,3 V

Это в Q = 22,36 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism