Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +10 µC и заряд −2 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 12 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +10 µCq₂ = −2 µCr₁ = 12 cmr₂ = 8 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 10 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 8 µC — на расстоянии 4 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 2 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 8 µCq₂ = 2 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 15 ms.

V_s = 30 VR₁ = 1 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 10 µFt = 15 ms

v_C = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R₂. Через какое время после t = 0 ток катушки достигнет 0,246 A? Найдите t.

V_s = 10 VR₁ = 33 ΩR₂ = 15 ΩL = 220 mH

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Протон движется со скоростью 2,5 × 10⁶ m/s перпендикулярно однородному магнитному полю 0,25 T. Найдите радиус r его круговой траектории.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁶ m/sB = 0,25 T

r = cm

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 250 витков размером 10 cm × 25 cm вращается с частотой 900 rpm в однородном поле 0,1 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите амплитудную ЭДС E₀.

N = 250A = 10 cm × 25 cmB = 0,1 Tn = 900 rpm

E₀ = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 230 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 50 mH

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 24 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 24 V (rms)R = 5 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

V_L = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 9,052 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,12² = 6,243 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,08² = 2,809 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |6,243 × 10⁶ + 2,809 × 10⁶| = 9,052 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 9,052 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 450,4 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·8·10 × 10⁻¹²/0,04² = 449,5 N

F₂ = k·2·10 × 10⁻¹²/0,08² = 28,09 N

Векторная сумма

F = √(449,5² + 28,09²) = 450,4 N

Ответ

F = 450,4 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 18,46 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 10 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 12·14/(12+14) = 6,462 Ω

R_eq = R₁ + 6,462 = 12 + 6,462 = 18,46 Ω

Ответ

R_eq = 18,46 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,33 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 8 + 25 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 8,8 Ω

R₃ + 8,8 = 11,8 Ω

R₂ ∥ 11,8 = 4,768 Ω

R_eq = R₁ + 4,768 = 2 + 4,768 = 6,768 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/6,768 = 1,33 A

Ответ

I_R1 = 1,33 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 18,3 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти R_th; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·2,2/(1 + 2,2) = 0,6875 kΩ

v_C(∞) = 30·2,2/(1 + 2,2) = 20,63 V

Постоянная времени

τ = R_th·C = 0,6875·10 = 6,875 ms

Кривая заряда

v_C(t) = 20,63·(1 − e^−15/6,875) = 18,3 V

Ответ

v_C = 18,3 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 3,381 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.

i(0) = 10/(33 + 15) = 0,2083 A

i(∞) = 10/33 = 0,303 A

τ = L/R = 220/33 = 6,667 ms

i(t) = 0,303 + (0,2083 − 0,303)·e^−t/τ

Выразите время

e^−t/τ = (0,246 − 0,303)/(0,2083 − 0,303) = 0,6022

t = 6,667·ln(1,66) = 3,381 ms

Ответ

t = 3,381 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 10,44 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Баланс сил

Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому она искривляет траекторию в окружность.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радиус

r = 1,673 × 10⁻²⁷·2,5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,25) = 0,1044 m = 10,44 cm

Ответ

r = 10,44 cm

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E₀ = 58,9 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·900/60 = 94,25 rad/s

A = 0,025 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 250·0,1·0,025·94,25 = 58,9 V

Ответ

E₀ = 58,9 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 38,51 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_L = ωL = 2π·100·0,05 = 31,42 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 230/25 = 9,2 A

I_X = V/X_L = 230/31,42 = 7,321 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(9,2² + 7,321²) = 11,76 A

Угол сдвига фаз

Ток катушки отстаёт от V, поэтому общий ток отстаёт и угол положителен.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(7,321/9,2) = 38,51°

Ответ

φ = 38,51°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 700,2 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·4,7·10⁻⁶) = 1459 rad/s

I = V/R = 24/5 = 4,8 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 1459·0,1 = 145,9 Ω

V_L = I·X_L = 4,8·145,9 = 700,2 V

Ответ

V_L = 700,2 V

Это в Q = 29,17 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism