Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +3 µC и +5 µC находятся на расстоянии 100 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +3 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +3 µCq₂ = +5 µCd = 100 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Два одинаковых маленьких шарика массой 2 g каждый подвешены в одной точке на изолирующих нитях длиной 50 cm. Им сообщают равные заряды, и каждая нить устанавливается под углом 8° к вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите заряд q каждого шарика в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 50 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 10 ms.

V_s = 10 VR = 10 ΩL = 47 mHt = 10 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 400 ms.

V_s = 12 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 10 kΩC = 68 µFt = 400 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Протон движется по окружности в однородном магнитном поле 0,5 T. Найдите время T, за которое он делает один оборот.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 0,5 T

T = ns

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Дейтрон проходит без отклонения через селектор скоростей со скрещёнными полями E = 8 × 10⁴ V/m и B₁ = 0,05 T. Затем он влетает под прямым углом во вторую область, где есть только магнитное поле B₂ = 1 T. Найдите радиус r его траектории там.

E = 8 × 10⁴ V/mB₁ = 0,05 TB₂ = 1 Tm = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 100 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 50 mH

|Z| = Ω

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 100 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 43,65 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

3/x² = 5/(100 − x)²

(100 − x)/x = √(5/3) = 1,291

Положение

x = 100/(1 + 1,291) = 43,65 cm

Ответ

x = 43,65 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: q = 77,08 nC

Электрическая сила из условия равновесия

Горизонтальная составляющая натяжения уравновешивает F, вертикальная — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 8° = 0,002757 N

Расстояние между шариками

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 8° = 0,1392 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1392·√(0,002757/8,99 × 10⁹) = 7,708 × 10⁻⁸ C = 77,08 nC

Ответ

q = 77,08 nC

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 8,769 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 4 + 5 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 4·9/(4+9) = 2,769 Ω

R_eq = R₁ + 2,769 = 6 + 2,769 = 8,769 Ω

Ответ

R_eq = 8,769 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,372 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 15 + 6 = 21 Ω

R₄ ∥ 21 = 12,35 Ω

R₃ + 12,35 = 32,35 Ω

R₂ ∥ 32,35 = 2,745 Ω

R_eq = R₁ + 2,745 = 6 + 2,745 = 8,745 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/8,745 = 1,372 A

Ответ

I_R1 = 1,372 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,8809 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 47 mH / 10 Ω = 4,7 ms

i(∞) = V_s/R = 10/10 = 1 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 1·(1 − e^−10/4,7) = 0,8809 A

Ответ

i = 0,8809 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 3,966 V

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

v_C(0) = 12·10/(6,8 + 10) = 7,143 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R₂·C = 10·68 = 680 ms

Разряд

v_C(t) = 7,143·e^−400/680 = 3,966 V

Ответ

v_C = 3,966 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: T = 131,2 ns

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Период движения по окружности

Более быстрая частица движется по большей окружности, поэтому время на один оборот остаётся прежним.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1,673 × 10⁻²⁷/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,5) = 131,2 ns

Ответ

T = 131,2 ns

Скорость не нужна: поэтому циклотрон может работать на одной фиксированной частоте.

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 3,34 cm

Выбираемая скорость

Без отклонения: электрическая сила qE уравновешивает магнитную силу qvB.

v = E/B₁ = 8 × 10⁴/0,05 = 1,6 × 10⁶ m/s

Радиус во втором поле

r = mv/(|q|B₂) = 0,0334 m = 3,34 cm

Ответ

r = 3,34 cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 19,06 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_L = ωL = 2π·200·0,05 = 62,83 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 100/20 = 5 A

I_X = V/X_L = 100/62,83 = 1,592 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(5² + 1,592²) = 5,247 A

Полное сопротивление

|Z| = V/I = 100/5,247 = 19,06 Ω

Ответ

|Z| = 19,06 Ω

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 2,022 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (109,7)²) = 113,8 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 230/113,8 = 2,022 A

Ответ

I = 2,022 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism