Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +10 µC и +1 µC находятся на расстоянии 80 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +10 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +10 µCq₂ = +1 µCd = 80 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Заряды +10 µC и −10 µC находятся на расстоянии 6 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 3 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +10 µCq₂ = −10 µCd = 6 cmh = 3 cm

E = N/C

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

V_s = 6 VR = 68 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 12 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 6 V, ровно через 500 ms после старта. При R = 2,2 kΩ найдите необходимую ёмкость C.

V_s = 12 VV_th = 6 VT = 500 msR = 2,2 kΩ

C = µF

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

По проводу идёт ток вниз по странице в однородном магнитном поле, направленном в плоскость страницы. Нажмите на направление магнитной силы, действующей на провод.

I: вниз по страницеB: в плоскость страницы

1вверх по странице
2вправо
3вниз по странице
4влево

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Альфа-частица начинает движение из состояния покоя, ускоряется разностью потенциалов 2500 V и затем влетает в однородное магнитное поле 0,3 T под прямым углом. Найдите радиус r его траектории в поле.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0,3 T

r = cm

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 24 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 20 mH

|Z| = Ω

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Резистор R₁ включён последовательно с параллельным соединением R₂ и конденсатора C в сеть 12 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 50 ΩC = 100 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 60,78 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

10/x² = 1/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(1/10) = 0,3162

Положение

x = 80/(1 + 0,3162) = 60,78 cm

Ответ

x = 60,78 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 7,063 × 10⁷ N/C

Расстояние и поле одного заряда

r = √(3² + 3²) = 4,243 cm

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,04243² = 4,994 × 10⁷ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль серединного перпендикуляра компенсируются.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·4,994 × 10⁷·0,7071 = 7,063 × 10⁷ N/C

Ответ

E = 7,063 × 10⁷ N/C

Поле направлено параллельно прямой от положительного заряда к отрицательному.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 9,765 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 20 + 2 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 12·22/(12+22) = 7,765 Ω

R_eq = R₁ + 7,765 = 2 + 7,765 = 9,765 Ω

Ответ

R_eq = 9,765 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,9089 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 25 + 8 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 5,077 Ω

R₃ + 5,077 = 9,077 Ω

R₂ ∥ 9,077 = 6,243 Ω

R_eq = R₁ + 6,243 = 2 + 6,243 = 8,243 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/8,243 = 2,911 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 2,911·2 = 18,18 V

I_R2 = V_A/R₂ = 18,18/20 = 0,9089 A

Ответ

I_R2 = 0,9089 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,05578 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 68 mH / 68 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 6/68 = 0,08824 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,08824·(1 − e^−1/1) = 0,05578 A

Ответ

i = 0,05578 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: C = 327,9 µF

Требуемая постоянная времени

6 = 12·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(12/(12 − 6))

τ = 500/0,6931 = 721,3 ms

Ёмкость

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

C = τ/R = 721,3/2,2 = 327,9 µF

Ответ

C = 327,9 µF

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: вправо

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правой руки

Направьте пальцы вдоль тока или скорости и согните их к B; большой палец покажет силу, действующую на положительный заряд.

I: вниз по странице, B: в плоскость страницы

Направление силы

вправо

Ответ

F: вправо

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 3,394 cm

Скорость после ускорения

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·2500/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 491003 m/s

Радиус в поле

r = mv/(|q|B) = 0,03394 m = 3,394 cm

Ответ

r = 3,394 cm

Вместе: r = √(2mV/|q|)/B, поэтому более тяжёлые ионы с тем же зарядом движутся по окружностям большего радиуса; так разделяют изотопы.

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: |Z| = 49,41 Ω

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_L = ωL = 2π·500·0,02 = 62,83 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 24/80 = 0,3 A

I_X = V/X_L = 24/62,83 = 0,382 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,3² + 0,382²) = 0,4857 A

Полное сопротивление

|Z| = V/I = 24/0,4857 = 49,41 Ω

Ответ

|Z| = 49,41 Ω

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,1757 A

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Z_p на действительную и мнимую части.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 14,42 − j22,65 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 50 + 14,42 − j22,65 = 64,42 − j22,65 Ω

|Z| = √(64,42² + 22,65²) = 68,29 Ω

Ток

I = V/|Z| = 12/68,29 = 0,1757 A

Ответ

I = 0,1757 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism