Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +5 µC и заряд −2 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 10 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +5 µCq₂ = −2 µCr₁ = 10 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 1 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 1 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 5 µC — на расстоянии 5 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 5 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 5 ms.

V_s = 9 VR = 20 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 2 V с указанной полярностью. Через какое время v_C достигнет 14,6 V? Найдите t.

V_s = 20 VR = 6,8 kΩC = 47 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Металлический стержень длиной 100 cm скользит со скоростью 1 m/s по двум рельсам в однородном поле 0,1 T, направленном в плоскость рисунка. Рельсы соединены резистором 2,5 Ω; сопротивлением стержня и рельсов можно пренебречь. Найдите мощность P, рассеиваемую в резисторе.

B = 0,1 TL = 100 cmv = 1 m/sR = 2,5 Ω

P = mW

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 20 витков размером 15 cm × 15 cm вращается с частотой 300 rpm в однородном поле 0,1 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите действующее значение E_rms ЭДС.

N = 20A = 15 cm × 15 cmB = 0,1 Tn = 300 rpm

E_rms = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 230 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩC = 100 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 6,293 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,1² = 4,495 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,1² = 1,798 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |4,495 × 10⁶ + 1,798 × 10⁶| = 6,293 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 6,293 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 18,03 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·1·1 × 10⁻¹²/0,08² = 1,405 N

F₂ = k·5·1 × 10⁻¹²/0,05² = 17,98 N

Векторная сумма

F = √(1,405² + 17,98²) = 18,03 N

Ответ

F = 18,03 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 13,5 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 3 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 15·15/(15+15) = 7,5 Ω

R_eq = R₁ + 7,5 = 6 + 7,5 = 13,5 Ω

Ответ

R_eq = 13,5 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 11,64 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 8 + 15 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 4,759 Ω

R₃ + 4,759 = 19,76 Ω

R₂ ∥ 19,76 = 6,64 Ω

R_eq = R₁ + 6,64 = 5 + 6,64 = 11,64 Ω

Ответ

R_eq = 11,64 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,2845 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 100 mH / 20 Ω = 5 ms

i(∞) = V_s/R = 9/20 = 0,45 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,45·(1 − e^−5/5) = 0,2845 A

Ответ

i = 0,2845 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 384,8 ms

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms

v_C(t) = 20 + (2 − 20)·e^−t/τ

Выразите время

14,6 = 20 + (−18)·e^−t/τ → e^−t/τ = (14,6 − 20)/(2 − 20) = 0,3

t = τ·ln((2 − 20)/(14,6 − 20)) = 319,6·ln(3,333) = 384,8 ms

Ответ

t = 384,8 ms

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: P = 4 mW

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

ЭДС движения

ε = BLv = 0,1·1·1 = 0,1 V

Ток

I = ε/R = 0,1/2,5 = 0,04 A

Мощность

P = εI = 0,1·0,04 = 0,004 W

Ответ

P = 4 mW

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E_rms = 0,9996 V

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

A = 0,0225 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 20·0,1·0,0225·31,42 = 1,414 V

Действующее значение

E_rms = 1,414/√2 = 0,9996 V

Ответ

E_rms = 0,9996 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −48,52 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 230/30 = 7,667 A

I_X = V/X_C = 230/26,53 = 8,671 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(7,667² + 8,671²) = 11,57 A

Угол сдвига фаз

Ток конденсатора опережает V, поэтому общий ток опережает и угол отрицателен.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(8,671/7,667) = −48,52°

Ответ

φ = −48,52°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,4815 A

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−236,1)²) = 249,2 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 120/249,2 = 0,4815 A

Ответ

I = 0,4815 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism