Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точечного заряда
E = k·|q|/r²
Постоянная
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд
F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод
B = μ0I/(2πr)
Центр плоской катушки
B = μ0NI/(2R)
Длинный соленоид
B = μ0nI, n = N/L
Постоянная
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод
F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд
F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Поток
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Индуктивность
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор скоростей и спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
  2. Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
  4. Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
++8 µC−−5 µC−−1 µC15 cm + 15 cm

Три точечных заряда лежат на одной прямой: +8 µC слева, −1 µC справа на расстоянии 30 cm и −5 µC между ними, на расстоянии 15 cm от левого заряда. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на средний заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +8 µCqR = −1 µCqM = −5 µCrL = 15 cmrR = 15 cm
F = N
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
8 cm5 cm+q1​ = +4 µC+q3​ = +5 µC+q2​ = +8 µC

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 5 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 4 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 8 µC — на расстоянии 5 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q1 = 4 µCq2 = 8 µCq3 = 5 µCr13 = 8 cmr23 = 5 cm
F = N
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 18 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 8 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩIR2​AR4​12 ΩBR6​6 Ω

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 4 ΩR4 = 12 ΩR5 = 3 ΩR6 = 6 Ω
IR2 = A
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​15 Vt = 0R = 33 ΩL22 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 95% конечного значения? Найдите t.

Vs = 15 VR = 33 ΩL = 22 mH
t = ms
6.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​15 Vt = 0R = 10 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 5 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 1000 ms.

Vs = 15 VR = 10 kΩC = 100 µFvC(0) = 5 Vt = 1000 ms
vC = V
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
IBF = ?

По проводу идёт ток вправо в однородном магнитном поле, направленном в плоскость страницы. Нажмите на направление магнитной силы, действующей на провод.

I: вправоB: в плоскость страницы
  1. 1вверх по странице
  2. 2вправо
  3. 3вниз по странице
  4. 4влево
8.Магнитные поля и индукцияСложная
L = 20 mH5,5 → 0,5 A

Ток в катушке индуктивностью 20 mH равномерно меняется от 5,5 A до 0,5 A за 1 ms. Найдите модуль ЭДС самоиндукции ε.

L = 20 mH5,5 A → 0,5 AΔt = 1 ms
ε = V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
10 V500 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 100 µF

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 100 µF
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
120 V500 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 22 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 22 µF
I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 17,98 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила от каждого заряда

Направление вправо положительно.

FL = −k·8·5 × 10⁻¹²/0,15² = −15,98 N
FR = −k·1·5 × 10⁻¹²/0,15² = −1,998 N

Результирующая сила

F = −15,98 + (−1,998) = −17,98 N → |F| = 17,98 N

Ответ

F = 17,98 N

Результирующая сила направлена влево.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 146,6 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F1 = k·4·5 × 10⁻¹²/0,08² = 28,09 N
F2 = k·8·5 × 10⁻¹²/0,05² = 143,8 N

Векторная сумма

F = √(28,09² + 143,8²) = 146,6 N

Ответ

F = 146,6 N
3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 11,86 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 12 + 5 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 5·17/(5+17) = 3,864 Ω
Req = R1 + 3,864 = 8 + 3,864 = 11,86 Ω

Ответ

Req = 11,86 Ω
4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 0,2637 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 8 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​12 ΩBR6​6 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 3 + 6 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 5,143 Ω
R3 + 5,143 = 9,143 Ω
R2 ∥ 9,143 = 6,275 Ω
Req = R1 + 6,275 = 8 + 6,275 = 14,27 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 12/14,27 = 0,8407 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0,8407·8 = 5,275 V
IR2 = VA/R2 = 5,275/20 = 0,2637 A

Ответ

IR2 = 0,2637 A
5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 1,997 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 22 mH / 33 Ω = 0,6667 ms
i(∞) = Vs/R = 15/33 = 0,4545 A

Выразите время

0,95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)
t = −0,6667·ln(0,05) = 1,997 ms

Ответ

t = 1,997 ms
6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 11,32 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms
vC(t) = 15 + (5 − 15)·e−t/τ

Напряжение в заданный момент

vC(1000) = 15 + (−10)·e−1000/1000 = 11,32 V

Ответ

vC = 11,32 V
7.Магнитные поля и индукция

Ответ: вверх по странице

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правой руки

Направьте пальцы вдоль тока или скорости и согните их к B; большой палец покажет силу, действующую на положительный заряд.

I: вправо, B: в плоскость страницы

Направление силы

вверх по странице

Ответ

F: вверх по странице
8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 100 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

ЭДС самоиндукции

ЭДС противодействует изменению тока (Ленц), поэтому её знак противоположен ΔI; по модулю она равна L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,02·5/0,001 = 100 V

Ответ

ε = 100 V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 72 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (153,9)²) = 161,8 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(153,9/50) = 72°

Ответ

φ = 72°
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,1951 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (613,8)²) = 615,2 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 120/615,2 = 0,1951 A

Ответ

I = 0,1951 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism