Закон Кулона и электрическое поле
- Закон Кулона
- F = k·|q1q2|/r²
- Поле точечного заряда
- E = k·|q|/r²
- Постоянная
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Сила, действующая на заряд
- F = q·E
Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Последовательные и параллельные резисторы
- Последовательное соединение резисторов
- Req = R1 + R2 + …
- Параллельное соединение резисторов
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Два параллельно
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Закон Ома
- V = I·R
- Мощность
- P = V·I = I²R = V²/R
Метод
- Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
- Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- После каждого шага перерисовывайте схему.
- Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.
Переходные процессы RC и RL
- Постоянная времени
- τ = RC | τ = L/R
- Отклик
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Конденсатор на постоянном токе
- разрыв; vC не может измениться скачком
- Катушка на постоянном токе
- короткое замыкание; iL не может измениться скачком
- Установившийся режим
- t ≈ 5τ
Метод
- Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
- Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
- Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
- Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Магнитные поля и индукция
- Длинный прямой провод
- B = μ0I/(2πr)
- Центр плоской катушки
- B = μ0NI/(2R)
- Длинный соленоид
- B = μ0nI, n = N/L
- Постоянная
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Сила, действующая на провод
- F = BIL·sin θ
- Сила, действующая на заряд
- F = |q|vB·sin θ
- Движение по окружности
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Параллельные провода
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Поток
- Φ = BA·cos θ
- Закон Фарадея
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Движущийся стержень
- ε = BLv
- Генератор
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Индуктивность
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Взаимная индуктивность
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Селектор скоростей и спектрометр
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Метод
- Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
- Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
- Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
- Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.
Полное сопротивление и комплексные амплитуды
- Полные сопротивления
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Угловая частота
- ω = 2πf
- Модуль и угол
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Закон Ома в комплексной форме
- V = I·Z
Метод
- Переведите частоту: ω = 2πf.
- Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
- Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
- Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.
2Тренировочные задачи
1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
Заряд +4 µC и заряд −10 µC находятся на расстоянии 50 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 12,5 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.
q1 = +4 µCq2 = −10 µCr1 = 12,5 cmr2 = 37,5 cm
E = N/C
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
Электрон влетает в однородное поле между двумя параллельными пластинами, двигаясь параллельно им со скоростью 1,5 × 10⁷ m/s. Длина пластин 4 cm, напряжённость поля между ними 2300 N/C. Заряд электрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, масса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силой тяжести пренебречь. На какое расстояние y он отклонится вбок к моменту вылета из пластин? Дайте ответ в mm.
v₀ = 1,5 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 2300 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.
V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 ΩR4 = 20 Ω
Req = Ω
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.
V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 15 ΩR4 = 25 ΩR5 = 10 ΩR6 = 5 Ω
IR1 = A
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
Через катушку течёт установившийся ток 1 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. За какое время ток уменьшится до 0,25 A? Найдите t.
i(0) = 1 AR = 15 ΩL = 47 mH
t = ms
6.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 3 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 15,6 V? Найдите t.
Vs = 24 VR = 2,2 kΩC = 220 µFvC(0) = 3 V
t = ms
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
Два длинных параллельных провода на расстоянии 20 cm друг от друга проводят токи 15 A и 30 A в одном направлении. Найдите модуль магнитной индукции B в точке P посередине между ними.
I1 = 15 AI2 = 30 Ad = 20 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.Магнитные поля и индукцияСложная
Альфа-частица проходит без отклонения через селектор скоростей со скрещёнными полями E = 1 × 10⁵ V/m и B₁ = 0,2 T. Затем он влетает под прямым углом во вторую область, где есть только магнитное поле B₂ = 0,8 T. Найдите радиус r его траектории там.
E = 1 × 10⁵ V/mB1 = 0,2 TB2 = 0,8 Tm = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).
V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 10 µF
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение напряжения VC на конденсаторе.
V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 1 µF
VC = V
3Растворы
1.Закон Кулона и электрическое поле
Ответ: E = 2,941 × 10⁶ N/C
Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.
Поле каждого заряда
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0,125² = 2,301 × 10⁶ N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0,375² = 639289 N/C
Направления и сумма
Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.
E = |2,301 × 10⁶ + 639289| = 2,941 × 10⁶ N/C
Ответ
E = 2,941 × 10⁶ N/C
2.Закон Кулона и электрическое поле
Ответ: y = 1,438 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Время между пластинами
t = L/v₀ = 0,04/1,5 × 10⁷ = 2,667 × 10⁻⁹ s
Поперечное ускорение
a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2300/9,109 × 10⁻³¹ = 4,045 × 10¹⁴ m/s²
Прогиб
y = ½·a·t² = ½·4,045 × 10¹⁴·(2,667 × 10⁻⁹)² = 0,001438 m = 1,438 mm
Ответ
y = 1,438 mm
Электрон притягивается к положительной пластине, против направления поля.
3.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 13 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 10 + 20 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 15·30/(15+30) = 10 Ω
Req = R1 + 10 = 3 + 10 = 13 Ω
Ответ
Req = 13 Ω
4.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 0,8979 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 10 + 5 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 9,375 Ω
R3 + 9,375 = 24,38 Ω
R2 ∥ 24,38 = 6,023 Ω
Req = R1 + 6,023 = 4 + 6,023 = 10,02 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 9/10,02 = 0,8979 A
Ответ
IR1 = 0,8979 A
5.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 4,344 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени
τ = L/R = 47 mH / 15 Ω = 3,133 ms
Выразите время
0,25 = 1·e−t/τ → t = τ·ln(1/0,25)
t = 3,133·ln(4) = 4,344 ms
Ответ
t = 4,344 ms
6.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 443,5 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 220 µF = 484 ms
vC(t) = 24 + (3 − 24)·e−t/τ
Выразите время
15,6 = 24 + (−21)·e−t/τ → e−t/τ = (15,6 − 24)/(3 − 24) = 0,4
t = τ·ln((3 − 24)/(15,6 − 24)) = 484·ln(2,5) = 443,5 ms
Ответ
t = 443,5 ms
7.Магнитные поля и индукция
Ответ: B = 30 µT
Магнитное поле токов: вокруг длинного прямого провода линии поля — окружности (правило правой руки), B = μ₀I/(2πr). В центре плоской круговой катушки из N витков B = μ₀NI/(2R). Внутри длинного соленоида поле однородно, B = μ₀nI, где n = N/L — число витков на метр, независимо от радиуса. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Работайте в единицах СИ (метры и амперы), а поля нескольких источников складывайте как векторы.
Поле каждого провода в точке P
B1 = 2 × 10⁻⁷·15/0,1 = 30 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·30/0,1 = 60 µT
Объедините
B = |B₁ − B₂| = 30 µT
Ответ
B = 30 µT
8.Магнитные поля и индукция
Ответ: r = 1,296 cm
Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Выбираемая скорость
Без отклонения: электрическая сила qE уравновешивает магнитную силу qvB.
v = E/B1 = 1 × 10⁵/0,2 = 500000 m/s
Радиус во втором поле
r = mv/(|q|B2) = 0,01296 m = 1,296 cm
Ответ
r = 1,296 cm
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: φ = −85,52 °
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,05 = 31,42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (−127,7)²) = 128,1 Ω
Угол сдвига фаз
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−127,7/10) = −85,52°
Ответ
φ = −85,52°
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: VC = 24,65 V
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·1·10⁻⁶) = 795,8 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−770,6)²) = 774,8 Ω
Ток
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 24/774,8 = 0,03098 A
Напряжение на конденсаторе
VC = I·XC = 0,03098·795,8 = 24,65 V
Ответ
VC = 24,65 V
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism