Закон Кулона и электрическое поле
- Закон Кулона
- F = k·|q1q2|/r²
- Поле точечного заряда
- E = k·|q|/r²
- Постоянная
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Сила, действующая на заряд
- F = q·E
Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Последовательные и параллельные резисторы
- Последовательное соединение резисторов
- Req = R1 + R2 + …
- Параллельное соединение резисторов
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Два параллельно
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Закон Ома
- V = I·R
- Мощность
- P = V·I = I²R = V²/R
Метод
- Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
- Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- После каждого шага перерисовывайте схему.
- Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.
Переходные процессы RC и RL
- Постоянная времени
- τ = RC | τ = L/R
- Отклик
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Конденсатор на постоянном токе
- разрыв; vC не может измениться скачком
- Катушка на постоянном токе
- короткое замыкание; iL не может измениться скачком
- Установившийся режим
- t ≈ 5τ
Метод
- Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
- Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
- Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
- Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Магнитные поля и индукция
- Длинный прямой провод
- B = μ0I/(2πr)
- Центр плоской катушки
- B = μ0NI/(2R)
- Длинный соленоид
- B = μ0nI, n = N/L
- Постоянная
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Сила, действующая на провод
- F = BIL·sin θ
- Сила, действующая на заряд
- F = |q|vB·sin θ
- Движение по окружности
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Параллельные провода
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Поток
- Φ = BA·cos θ
- Закон Фарадея
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Движущийся стержень
- ε = BLv
- Генератор
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Индуктивность
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Взаимная индуктивность
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Селектор скоростей и спектрометр
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Метод
- Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
- Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
- Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
- Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.
Полное сопротивление и комплексные амплитуды
- Полные сопротивления
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Угловая частота
- ω = 2πf
- Модуль и угол
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Закон Ома в комплексной форме
- V = I·Z
Метод
- Переведите частоту: ω = 2πf.
- Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
- Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
- Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.
2Тренировочные задачи
1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
Два одинаковых маленьких металлических шарика имеют заряды +3 µC и −8 µC. Их приводят в соприкосновение, а затем снова располагают на расстоянии 15 cm. Найдите модуль силы F взаимодействия между ними теперь. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +3 µCq2 = −8 µCr = 15 cm
F = N
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 5 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 10 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 1 µC — на расстоянии 4 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.
q1 = 10 µCq2 = 1 µCq3 = 5 µCr13 = 8 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
Найдите ток IR2 через R2.
V1 = 30 VR1 = 20 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.
V1 = 5 VR1 = 30 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 10 ΩR5 = 15 ΩR6 = 8 Ω
IR1 = A
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите постоянную времени τ цепи после замыкания ключа.
Vs = 9 VR1 = 1 kΩR2 = 6,8 kΩC = 22 µF
τ = ms
6.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i2 через R2 при t = 1000 ms.
Vs = 20 VR1 = 2,2 kΩR2 = 10 kΩC = 68 µFt = 1000 ms
i2 = mA
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
Электрон движется со скоростью 3 × 10⁶ m/s перпендикулярно однородному магнитному полю 10 mT. Найдите радиус r его круговой траектории.
m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 3 × 10⁶ m/sB = 10 mT
r = cm
8.Магнитные поля и индукцияСложная
В селекторе скоростей скрещённые поля E = 5 × 10⁴ V/m и B = 0,4 T пропускают прямо только ионы одной скорости. Найдите эту скорость v.
E = 5 × 10⁴ V/mB1 = 0,4 T
v = m/s
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 10 µF
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение напряжения VC на конденсаторе.
V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 10 µF
VC = V
3Растворы
1.Закон Кулона и электрическое поле
Ответ: F = 2,497 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Заряд после соприкосновения
q′ = (3 + −8)/2 = −2,5 µC
Новая сила
F = 8,99 × 10⁹·(2,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 2,497 N
Ответ
F = 2,497 N
Теперь заряды шариков одного знака, поэтому они отталкиваются.
2.Закон Кулона и электрическое поле
Ответ: F = 75,64 N
Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.
Каждая сила, действующая на q₃
F1 = k·10·5 × 10⁻¹²/0,08² = 70,23 N
F2 = k·1·5 × 10⁻¹²/0,04² = 28,09 N
Векторная сумма
F = √(70,23² + 28,09²) = 75,64 N
Ответ
F = 75,64 N
3.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,75 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 20 + 10 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 12·30/(12+30) = 8,571 Ω
Req = R1 + 8,571 = 20 + 8,571 = 28,57 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 30/28,57 = 1,05 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 1,05·20 = 9 V
IR2 = VA/R2 = 9/12 = 0,75 A
Ответ
IR2 = 0,75 A
4.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 0,1461 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 15 + 8 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 6,97 Ω
R3 + 6,97 = 8,97 Ω
R2 ∥ 8,97 = 4,229 Ω
Req = R1 + 4,229 = 30 + 4,229 = 34,23 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 5/34,23 = 0,1461 A
Ответ
IR1 = 0,1461 A
5.Переходные процессы RC и RL
Ответ: τ = 19,18 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора
Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.
Rth = R1 ∥ R2 = 1·6,8/(1 + 6,8) = 0,8718 kΩ
vC(∞) = 9·6,8/(1 + 6,8) = 7,846 V
Постоянная времени
τ = Rth·C = 0,8718·22 = 19,18 ms
Ответ
τ = 19,18 ms
6.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i2 = 0,3767 mA
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное напряжение конденсатора
В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.
vC(0) = 20·10/(2,2 + 10) = 16,39 V
Постоянная времени после размыкания ключа
τ = R2·C = 10·68 = 680 ms
Разряд
vC(t) = 16,39·e−1000/680 = 3,767 V
i2 = vC/R2 = 3,767/10 = 0,3767 mA
Ответ
i2 = 0,3767 mA
7.Магнитные поля и индукция
Ответ: r = 0,1706 cm
Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Баланс сил
Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому она искривляет траекторию в окружность.
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
Радиус
r = 9,109 × 10⁻³¹·3 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,01) = 0,001706 m = 0,1706 cm
Ответ
r = 0,1706 cm
8.Магнитные поля и индукция
Ответ: v = 125000 m/s
Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Выбираемая скорость
Без отклонения: электрическая сила qE уравновешивает магнитную силу qvB.
v = E/B1 = 5 × 10⁴/0,4 = 125000 m/s
Ответ
v = 125000 m/s
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,5278 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (171,7)²) = 189,5 Ω
Ток
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 100/189,5 = 0,5278 A
Ответ
I = 0,5278 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: VC = 132,8 V
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,1 = 31,42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−286,9)²) = 287,6 Ω
Ток
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 120/287,6 = 0,4173 A
Напряжение на конденсаторе
VC = I·XC = 0,4173·318,3 = 132,8 V
Ответ
VC = 132,8 V
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism