Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точечного заряда
E = k·|q|/r²
Постоянная
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд
F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод
B = μ0I/(2πr)
Центр плоской катушки
B = μ0NI/(2R)
Длинный соленоид
B = μ0nI, n = N/L
Постоянная
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод
F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд
F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Поток
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Индуктивность
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор скоростей и спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
  2. Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
  4. Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя
++2 µC++5 µCP60 cm

Заряд +2 µC и заряд +5 µC находятся на расстоянии 60 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 36 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q1 = +2 µCq2 = +5 µCr1 = 36 cmr2 = 24 cm
E = N/C
2.Закон Кулона и электрическое полеСложная
8 cm3 cm+q1​ = +6 µC+q3​ = +5 µC+q2​ = +10 µC

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 5 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 6 µC — на расстоянии 8 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 10 µC — на расстоянии 3 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q1 = 6 µCq2 = 10 µCq3 = 5 µCr13 = 8 cmr23 = 3 cm
F = N
3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAR4​10 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
4.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 6 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAR4​6 ΩBR6​3 Ω

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 ΩR4 = 6 ΩR5 = 6 ΩR6 = 3 Ω
IR1 = A
5.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​30 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 6,8 kΩC22 µF+−vC​

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите постоянную времени τ цепи после замыкания ключа.

Vs = 30 VR1 = 1 kΩR2 = 6,8 kΩC = 22 µF
τ = ms
6.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​10 Vt = 0R = 2,2 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 24 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 24 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 1000 ms.

Vs = 10 VR = 2,2 kΩC = 220 µFvC(0) = 24 Vt = 1000 ms
vC = V
7.Магнитные поля и индукцияСредняя
−v = 4 × 10⁶ m/sr = ?B = 10 mT

Электрон движется со скоростью 4 × 10⁶ m/s перпендикулярно однородному магнитному полю 10 mT. Найдите радиус r его круговой траектории.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁶ m/sB = 10 mT
r = cm
8.Магнитные поля и индукцияСложная
V = 2500 VB = 0,4 Tr = ?

Дейтрон начинает движение из состояния покоя, ускоряется разностью потенциалов 2500 V и затем влетает в однородное магнитное поле 0,4 T под прямым углом. Найдите радиус r его траектории в поле.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0,4 T
r = cm
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Vf0​ = 1000 HzRL = 50 mHC = ?

Последовательный RLC-контур с L = 50 mH должен резонировать на частоте 1000 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f0 = 1000 HzL = 50 mH
C = µF
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
100 V50 HzR1​ = 25 ΩR2​ = 150 ΩC = 10 µFI

Резистор R1 включён последовательно с параллельным соединением R2 и конденсатора C в сеть 100 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR1 = 25 ΩR2 = 150 ΩC = 10 µF
I = A

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 641647 N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,36² = 138735 N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0,24² = 780382 N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |138735 − 780382| = 641647 N/C

Ответ

E = 641647 N/C
2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 501,2 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F1 = k·6·5 × 10⁻¹²/0,08² = 42,14 N
F2 = k·10·5 × 10⁻¹²/0,03² = 499,4 N

Векторная сумма

F = √(42,14² + 499,4²) = 501,2 N

Ответ

F = 501,2 N
3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 3,482 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​6 ΩAR4​10 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 10 + 10 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω
Req = R1 + 4,615 = 4 + 4,615 = 8,615 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/8,615 = 3,482 A

Ответ

IR1 = 3,482 A
4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 2,014 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAR4​6 ΩBR6​3 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 6 + 3 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 3,6 Ω
R3 + 3,6 = 9,6 Ω
R2 ∥ 9,6 = 4,898 Ω
Req = R1 + 4,898 = 10 + 4,898 = 14,9 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/14,9 = 2,014 A

Ответ

IR1 = 2,014 A
5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: τ = 19,18 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

Rth = R1 ∥ R2 = 1·6,8/(1 + 6,8) = 0,8718 kΩ
vC(∞) = 30·6,8/(1 + 6,8) = 26,15 V

Постоянная времени

τ = Rth·C = 0,8718·22 = 19,18 ms

Ответ

τ = 19,18 ms
6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 11,77 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 220 µF = 484 ms
vC(t) = 10 + (24 − 10)·e−t/τ

Напряжение в заданный момент

vC(1000) = 10 + (14)·e−1000/484 = 11,77 V

Ответ

vC = 11,77 V
7.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 0,2274 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Баланс сил

Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому она искривляет траекторию в окружность.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радиус

r = 9,109 × 10⁻³¹·4 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,01) = 0,002274 m = 0,2274 cm

Ответ

r = 0,2274 cm
8.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 2,554 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Скорость после ускорения

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·2500/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 489422 m/s

Радиус в поле

r = mv/(|q|B) = 0,02554 m = 2,554 cm

Ответ

r = 2,554 cm

Вместе: r = √(2mV/|q|)/B, поэтому более тяжёлые ионы с тем же зарядом движутся по окружностям большего радиуса; так разделяют изотопы.

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 0,5066 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,05) = 0,5066 µF

Ответ

C = 0,5066 µF
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,6303 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

XC = 1/(2π·50·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Zp на действительную и мнимую части.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 122,7 − j57,84 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 25 + 122,7 − j57,84 = 147,7 − j57,84 Ω
|Z| = √(147,7² + 57,84²) = 158,7 Ω

Ток

I = V/|Z| = 100/158,7 = 0,6303 A

Ответ

I = 0,6303 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism