Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +2 µC и заряд +2 µC находятся на расстоянии 20 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 12 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +2 µCq₂ = +2 µCr₁ = 12 cmr₂ = 8 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 4 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 8 µC — на расстоянии 4 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 2 µC — на расстоянии 5 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 8 µCq₂ = 2 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение v_L на катушке в момент t = 15 ms.

V_s = 10 VR = 10 ΩL = 150 mHt = 15 ms

v_L = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i₂ через R₂ при t = 100 ms.

V_s = 15 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 47 µFt = 100 ms

i₂ = mA

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Электрон движется со скоростью 2 × 10⁶ m/s перпендикулярно однородному магнитному полю 5 mT. Найдите радиус r его круговой траектории.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁶ m/sB = 5 mT

r = cm

8.Магнитные поля и индукцияСложная

В селекторе скоростей скрещённые поля E = 5 × 10⁵ V/m и B = 0,5 T пропускают прямо только ионы одной скорости. Найдите эту скорость v.

E = 5 × 10⁵ V/mB₁ = 0,5 T

v = m/s

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 100 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩC = 100 µF

I = A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 5 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 5 V (rms)R = 10 ΩL = 5 mHC = 4,7 µF

V_L = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,561 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,12² = 1,249 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,08² = 2,809 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Оба заряда положительны: в точке P их поля направлены от соответствующего заряда, то есть в противоположные стороны.

E = |1,249 × 10⁶ − 2,809 × 10⁶| = 1,561 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 1,561 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 182,1 N

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·8·4 × 10⁻¹²/0,04² = 179,8 N

F₂ = k·2·4 × 10⁻¹²/0,05² = 28,77 N

Векторная сумма

F = √(179,8² + 28,77²) = 182,1 N

Ответ

F = 182,1 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,9502 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 10 + 4 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 8·14/(8+14) = 5,091 Ω

R_eq = R₁ + 5,091 = 15 + 5,091 = 20,09 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/20,09 = 1,493 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1,493·15 = 7,602 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,602/8 = 0,9502 A

Ответ

I_R2 = 0,9502 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 1,075 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 6 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 8,049 Ω

R₃ + 8,049 = 38,05 Ω

R₂ ∥ 38,05 = 7,919 Ω

R_eq = R₁ + 7,919 = 20 + 7,919 = 27,92 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/27,92 = 1,075 A

Ответ

I_R1 = 1,075 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_L = 3,679 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms

i(∞) = V_s/R = 10/10 = 1 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 10·e^−15/15 = 3,679 V

Ответ

v_L = 3,679 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i₂ = 0,6489 mA

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

v_C(0) = 15·4,7/(10 + 4,7) = 4,796 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R₂·C = 4,7·47 = 220,9 ms

Разряд

v_C(t) = 4,796·e^−100/220,9 = 3,05 V

i₂ = v_C/R₂ = 3,05/4,7 = 0,6489 mA

Ответ

i₂ = 0,6489 mA

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: r = 0,2274 cm

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Баланс сил

Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому она искривляет траекторию в окружность.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радиус

r = 9,109 × 10⁻³¹·2 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,005) = 0,002274 m = 0,2274 cm

Ответ

r = 0,2274 cm

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: v = 1 × 10⁶ m/s

Выбираемая скорость

Без отклонения: электрическая сила qE уравновешивает магнитную силу qvB.

v = E/B₁ = 5 × 10⁵/0,5 = 1 × 10⁶ m/s

Ответ

v = 1 × 10⁶ m/s

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 4,268 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

I_R = V/R = 100/50 = 2 A

I_X = V/X_C = 100/26,53 = 3,77 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2² + 3,77²) = 4,268 A

Ответ

I = 4,268 A

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 16,31 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·4,7·10⁻⁶) = 6523 rad/s

I = V/R = 5/10 = 0,5 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 6523·0,005 = 32,62 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·32,62 = 16,31 V

Ответ

V_L = 16,31 V

Это в Q = 3,262 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism