Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряды +4 µC и +1 µC находятся на расстоянии 100 cm друг от друга. На каком расстоянии x от заряда +4 µC на отрезке между ними напряжённость электрического поля равна нулю?

q₁ = +4 µCq₂ = +1 µCd = 100 cm

x = cm

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Три положительных точечных заряда находятся в вершинах прямоугольного треугольника: q₃ = 1 µC — в вершине прямого угла, q₁ = 10 µC — на расстоянии 3 cm от неё вдоль одного катета, q₂ = 8 µC — на расстоянии 10 cm от неё вдоль другого катета. Найдите модуль результирующей электрической силы F, действующей на q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 8 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

V_s = 5 VR = 68 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 3 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 750 ms.

V_s = 10 VR = 4,7 kΩC = 100 µFv_C(0) = 3 Vt = 750 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Круговой контур находится в однородном магнитном поле, направленном из плоскости страницы. Индукция поля возрастает. Нажмите на направление индукционного тока в контуре, как оно видно на рисунке.

B: из плоскости страницыdB/dt > 0

1по часовой стрелке
2против часовой стрелки

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Катушка из 150 витков размером 15 cm × 5 cm вращается с частотой 1800 rpm в однородном поле 0,05 T вокруг оси, перпендикулярной полю. Найдите действующее значение E_rms ЭДС.

N = 150A = 15 cm × 5 cmB = 0,05 Tn = 1800 rpm

E_rms = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 100 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 10 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 10 V (rms)R = 5 ΩL = 50 mHC = 10 µF

V_L = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: x = 66,67 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Равные поля

4/x² = 1/(100 − x)²

(100 − x)/x = √(1/4) = 0,5

Положение

x = 100/(1 + 0,5) = 66,67 cm

Ответ

x = 66,67 cm

Нулевая точка всегда ближе к меньшему заряду.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 100,1 N

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Каждая сила, действующая на q₃

F₁ = k·10·1 × 10⁻¹²/0,03² = 99,89 N

F₂ = k·8·1 × 10⁻¹²/0,1² = 7,192 N

Векторная сумма

F = √(99,89² + 7,192²) = 100,1 N

Ответ

F = 100,1 N

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 1,029 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 12 + 3 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 8·15/(8+15) = 5,217 Ω

R_eq = R₁ + 5,217 = 10 + 5,217 = 15,22 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/15,22 = 1,577 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,577·10 = 8,229 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,229/8 = 1,029 A

Ответ

I_R2 = 1,029 A

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 14,02 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 5 + 12 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 9,189 Ω

R₃ + 9,189 = 24,19 Ω

R₂ ∥ 24,19 = 8,021 Ω

R_eq = R₁ + 8,021 = 6 + 8,021 = 14,02 Ω

Ответ

R_eq = 14,02 Ω

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,04648 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 68 mH / 68 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 5/68 = 0,07353 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,07353·(1 − e^−1/1) = 0,04648 A

Ответ

i = 0,04648 A

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 8,581 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 100 µF = 470 ms

v_C(t) = 10 + (3 − 10)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(750) = 10 + (−7)·e^−750/470 = 8,581 V

Ответ

v_C = 8,581 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: по часовой стрелке

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Изменение потока

Поток из плоскости страницы возрастает, или поток в плоскость страницы убывает.

Поле индукционного тока

Индукционный ток противодействует изменению.

Индуцированное поле внутри контура: в плоскость страницы.

Направление тока

Правило правой руки: ток против часовой стрелки создаёт внутри контура поле, направленное из плоскости страницы.

по часовой стрелке

Ответ

по часовой стрелке

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: E_rms = 7,497 V

Угловая скорость и площадь

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

A = 0,0075 m²

Амплитудная ЭДС

E₀ = NBAω = 150·0,05·0,0075·188,5 = 10,6 V

Действующее значение

E_rms = 10,6/√2 = 7,497 V

Ответ

E_rms = 7,497 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −8,728 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−7,676)²) = 50,59 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−7,676/50) = −8,728°

Ответ

φ = −8,728°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 141,4 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·10·10⁻⁶) = 1414 rad/s

I = V/R = 10/5 = 2 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 1414·0,05 = 70,71 Ω

V_L = I·X_L = 2·70,71 = 141,4 V

Ответ

V_L = 141,4 V

Это в Q = 14,14 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism