Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Два одинаковых маленьких металлических шарика имеют заряды −8 µC и +5 µC. Их приводят в соприкосновение, а затем снова располагают на расстоянии 25 cm. Найдите модуль силы F взаимодействия между ними теперь. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −8 µCq₂ = +5 µCr = 25 cm

F = N

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Заряды +3 µC и +3 µC находятся на расстоянии 10 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 6 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = +3 µCd = 10 cmh = 6 cm

E = N/C

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R1, отдаваемый источником и текущий через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

Через катушку течёт установившийся ток 2 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите напряжение v_R на R при t = 10 ms.

i(0) = 2 AR = 10 ΩL = 150 mHt = 10 ms

v_R = V

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ, шунтирующий R₂, был замкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток катушки i при t = 10 ms.

V_s = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩL = 100 mHt = 10 ms

i = A

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

Протон движется вниз по странице в однородном магнитном поле, направленном в плоскость страницы. Нажмите на направление магнитной силы, действующей на него.

v: вниз по страницеB: в плоскость страницы

1вверх по странице
2вправо
3вниз по странице
4влево

8.Магнитные поля и индукцияСложная

Две катушки с индуктивностями 10 mH и 100 mH имеют коэффициент связи 0,75. Ток в первой катушке меняется со скоростью 500 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую во второй катушке.

L₁ = 10 mHL₂ = 100 mHk = 0,75di/dt = 500 A/s

ε = V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 47 µF

φ = °

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 10 Ω, L = 50 mH и C = 0,1 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 10 ΩL = 50 mHC = 0,1 µF

B = Hz

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: F = 0,3236 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд после соприкосновения

q′ = (−8 + 5)/2 = −1,5 µC

Новая сила

F = 8,99 × 10⁹·(1,5 × 10⁻⁶)²/0,25² = 0,3236 N

Ответ

F = 0,3236 N

Теперь заряды шариков одного знака, поэтому они отталкиваются.

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 6,793 × 10⁶ N/C

Расстояние и поле одного заряда

r = √(5² + 6²) = 7,81 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,0781² = 4,421 × 10⁶ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль соединяющей заряды прямой компенсируются.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·4,421 × 10⁶·0,7682 = 6,793 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 6,793 × 10⁶ N/C

Поле направлено вдоль серединного перпендикуляра, от зарядов.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 8,609 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 8 + 12 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 3·20/(3+20) = 2,609 Ω

R_eq = R₁ + 2,609 = 6 + 2,609 = 8,609 Ω

Ответ

R_eq = 8,609 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R1 = 0,328 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 20 + 25 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 3,673 Ω

R₃ + 3,673 = 18,67 Ω

R₂ ∥ 18,67 = 3,294 Ω

R_eq = R₁ + 3,294 = 15 + 3,294 = 18,29 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/18,29 = 0,328 A

Ответ

I_R1 = 0,328 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_R = 10,27 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms

Убывание тока

i(t) = 2·e^−10/15 = 1,027 A

v_R = R·i = 10·1,027 = 10,27 V

Ответ

v_R = 10,27 V

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,5313 A

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 замкнутый ключ шунтирует R₂; после этого в контур входят и R₁, и R₂.

i(0) = 10/5 = 2 A

i(∞) = 10/(5 + 20) = 0,4 A

τ = L/R = 100/25 = 4 ms

i(t) = 0,4 + (2 − 0,4)·e^−t/τ

Ток в заданный момент

i(10) = 0,4 + (1,6)·e^−10/4 = 0,5313 A

Ответ

i = 0,5313 A

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: вправо

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правой руки

Направьте пальцы вдоль тока или скорости и согните их к B; большой палец покажет силу, действующую на положительный заряд.

v: вниз по странице, B: в плоскость страницы

Направление силы

вправо

Ответ

F: вправо

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: ε = 11,86 V

Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).

Взаимная индуктивность

M = 0,75·√(10·100) = 23,72 mH

ЭДС индукции

ε = M·di/dt = 0,02372·500 = 11,86 V

Ответ

ε = 11,86 V

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −13,18 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−18,74)²) = 82,17 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−18,74/80) = −13,18°

Ответ

φ = −13,18°

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 31,83 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,05·0,1·10⁻⁶)) = 2251 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,05/(0,1·10⁻⁶)) = 70,71

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 2251/70,71 = 31,83 Hz

Ответ

B = 31,83 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism