Физика 2: Электричество и магнетизм: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (10) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Закон Кулона и электрическое поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точечного заряда: E = k·|q|/r²
Постоянная: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, действующая на заряд: F = q·E

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов: R_eq = R₁ + R₂ + …
Параллельное соединение резисторов: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два параллельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Мощность: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
После каждого шага перерисовывайте схему.
Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнитные поля и индукция

Длинный прямой провод: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоской катушки: B = μ₀NI/(2R)
Длинный соленоид: B = μ₀nI, n = N/L
Постоянная: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, действующая на провод: F = BIL·sin θ
Сила, действующая на заряд: F = |q|vB·sin θ
Движение по окружности: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Параллельные провода: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Поток: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Движущийся стержень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Индуктивность: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаимная индуктивность: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор скоростей и спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

2Тренировочные задачи

1.Закон Кулона и электрическое полеСредняя

Заряд +2 µC и заряд −3 µC находятся на расстоянии 40 cm друг от друга. Точка P лежит на прямой между ними на расстоянии 30 cm от первого заряда. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P.

q₁ = +2 µCq₂ = −3 µCr₁ = 30 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Закон Кулона и электрическое полеСложная

Заряды +4 µC и −4 µC находятся на расстоянии 8 cm друг от друга. Точка P лежит на серединном перпендикуляре на расстоянии 12 cm от середины отрезка между ними. Найдите модуль напряжённости электрического поля E в точке P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = −4 µCd = 8 cmh = 12 cm

E = N/C

3.Последовательные и параллельные резисторыСредняя

Найдите эквивалентное сопротивление R_eq, которое видит источник V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.Последовательные и параллельные резисторыСложная

Найдите ток I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

5.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 5 ms, в mJ.

V_s = 20 VR = 5 ΩL = 10 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Переходные процессы RC и RLСложная

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 18 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе v_C в момент t = 100 ms.

V_s = 6 VR = 3,3 kΩC = 22 µFv_C(0) = 18 Vt = 100 ms

v_C = V

7.Магнитные поля и индукцияСредняя

По проводу идёт ток вниз по странице в однородном магнитном поле, направленном в плоскость страницы. Нажмите на направление магнитной силы, действующей на провод.

I: вниз по страницеB: в плоскость страницы

1вверх по странице
2вправо
3вниз по странице
4влево

8.Магнитные поля и индукцияСложная

В селекторе скоростей скрещённые поля E = 5 × 10⁵ V/m и B = 0,05 T пропускают прямо только ионы одной скорости. Найдите эту скорость v.

E = 5 × 10⁵ V/mB₁ = 0,05 T

v = m/s

9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательный RLC-контур с C = 47 µF должен резонировать на частоте 2000 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.

f₀ = 2000 HzC = 47 µF

L = mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 1 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 1 V (rms)R = 15 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

V_L = V

3Растворы

1.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 2,897 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точечных заряда притягиваются или отталкиваются с силой F = k·|q₁·q₂|/r², где k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напряжённость поля точечного заряда E = k·|q|/r²; поле направлено от положительного заряда и к отрицательному. Силы и поля от нескольких зарядов складываются как векторы.

Поле каждого заряда

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,3² = 199778 N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,1² = 2,697 × 10⁶ N/C

Направления и сумма

Первое поле направлено от положительного заряда, второе — к отрицательному: оба направлены в одну сторону.

E = |199778 + 2,697 × 10⁶| = 2,897 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 2,897 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона и электрическое поле

Ответ: E = 1,421 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Расстояние и поле одного заряда

r = √(4² + 12²) = 12,65 cm

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,1265² = 2,247 × 10⁶ N/C

Составляющие

Составляющие вдоль серединного перпендикуляра компенсируются.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·2,247 × 10⁶·0,3162 = 1,421 × 10⁶ N/C

Ответ

E = 1,421 × 10⁶ N/C

Поле направлено параллельно прямой от положительного заряда к отрицательному.

3.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: R_eq = 15,22 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R₃ + R₄ = 20 + 20 = 40 Ω

R₂ ∥ 40 = 6·40/(6+40) = 5,217 Ω

R_eq = R₁ + 5,217 = 10 + 5,217 = 15,22 Ω

Ответ

R_eq = 15,22 Ω

4.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: I_R2 = 0,6867 A

Объединяйте резисторы с дальнего конца

R₅ + R₆ = 20 + 6 = 26 Ω

R₄ ∥ 26 = 4,194 Ω

R₃ + 4,194 = 19,19 Ω

R₂ ∥ 19,19 = 6,575 Ω

R_eq = R₁ + 6,575 = 3 + 6,575 = 9,575 Ω

Ток источника

Источник видит только R_eq, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/9,575 = 1,044 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 1,044·3 = 6,867 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,867/10 = 0,6867 A

Ответ

I_R2 = 0,6867 A

5.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 67,41 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 5 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 20/5 = 4 A

Ток в заданный момент

i(t) = 4·(1 − e^−5/2) = 3,672 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·10·3,672² = 67,41 mJ

Ответ

W = 67,41 mJ

6.Переходные процессы RC и RL

Ответ: v_C = 9,027 V

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 22 µF = 72,6 ms

v_C(t) = 6 + (18 − 6)·e^−t/τ

Напряжение в заданный момент

v_C(100) = 6 + (12)·e^−100/72,6 = 9,027 V

Ответ

v_C = 9,027 V

7.Магнитные поля и индукция

Ответ: вправо

Магнитные силы: на прямой провод с током I в поле B действует сила F = BIL·sin θ, а на движущийся заряд — F = |q|vB·sin θ, где θ — угол между током (или скоростью) и B. Сила перпендикулярна им обоим: направьте пальцы правой руки вдоль I или v, согните их к B, и большой палец покажет F для положительного заряда; для отрицательного заряда направление меняется на противоположное. Поскольку F перпендикулярна v, заряд, движущийся поперёк однородного поля, движется по окружности: |q|vB = mv²/r даёт r = mv/(|q|B) и период T = 2πm/(|q|B), не зависящий от скорости. Два параллельных провода притягиваются при токах в одном направлении: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правой руки

Направьте пальцы вдоль тока или скорости и согните их к B; большой палец покажет силу, действующую на положительный заряд.

I: вниз по странице, B: в плоскость страницы

Направление силы

вправо

Ответ

F: вправо

8.Магнитные поля и индукция

Ответ: v = 1 × 10⁷ m/s

Выбираемая скорость

Без отклонения: электрическая сила qE уравновешивает магнитную силу qvB.

v = E/B₁ = 5 × 10⁵/0,05 = 1 × 10⁷ m/s

Ответ

v = 1 × 10⁷ m/s

9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: L = 0,1347 mH

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·47·10⁻⁶) = 0,1347 mH

Ответ

L = 0,1347 mH

10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 6,356 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·2,2·10⁻⁶) = 4767 rad/s

I = V/R = 1/15 = 0,06667 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 4767·0,02 = 95,35 Ω

V_L = I·X_L = 0,06667·95,35 = 6,356 V

Ответ

V_L = 6,356 V

Это в Q = 6,356 раз больше напряжения источника.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism