Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 90 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 90 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 60 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 22 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 60 mv_0B = 22 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 10 kg и 5 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a грузов.

m₁ = 10 kgm₂ = 5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1 kg на наклонной плоскости под углом 25° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 5,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 1 kgm₂ = 5,5 kgθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 36 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 34 m/s под углом 45° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 7 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 34 m/sθ = 45°h_roof = 7 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 11 m вдоль плоскости.

θ = 30°μ = 0,25d = 11 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 20° и тянется вверх по ней постоянной силой 85 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 9 m вверх по плоскости.

m = 10 kgF = 85 Nθ = 20°μ = 0,2d = 9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1000 kg, движущийся со скоростью 6 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1000 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 1000 kgv₁ = 6 m/sm₂ = 1000 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 12 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 4 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,2 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 20° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 12 gM = 4 kgL = 1,2 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода вытекает из большого открытого резервуара через отверстие с острой кромкой диаметром 30 mm. Уровень воды поддерживается на 6 m выше отверстия, коэффициент расхода равен 0,61. Найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

d = 30 mmh = 6 mC_d = 0,61g = 9,81 m/s²

Q = L/s

14.Неразрывность и БернуллиСложная

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 70 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 50 mm, расположенное на 1,5 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите скорость струи v. Примите g = 9,81 m/s².

p_air = 70 kPa (избыточное)h = 1,5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Резервуар объёмом 10 L содержит 30 g газа (N₂) при 100 °C. Считайте газ идеальным и найдите давление P.

m = 30 gM = 28,01 g/molV = 10 LT = 100 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (CO₂) при 250 kPa и 0 °C, считая его идеальным.

M = 44,01 g/molP = 250 kPaT = 0 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Обратимый холодильник поддерживает в холодильной камере 4 °C, отводя 2 kW теплоты, и отдаёт теплоту окружающей среде при 28 °C. Найдите тепловой поток Q̇_H, который он отдаёт.

T_L = 4 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 2 kW

Q̇_H = kW

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Холодильник поддерживает в холодной камере 4 °C на кухне при 35 °C, отводя из камеры теплоту 5 kW. Найдите минимальную необходимую мощность Ẇ_min.

T_H = 35 °CT_L = 4 °CQ̇_L = 5 kW

Ẇ_min = kW

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Свет идёт в среде «глицерин» (n = 1,47) к плоской границе со средой «воздух» (n = 1,00). Найдите критический угол θ_c, за пределом которого происходит полное отражение.

n₁ = 1,47n₂ = 1,00

θ_c = °

20.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 633 nm падает под прямым углом на решётку с 600 штрихами на миллиметр. Найдите угол θ₁ максимума порядка 1.

N = 600 mm⁻¹λ = 633 nmm = 1

θ₁ = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 6,25 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/4 = 6,25 s

Ответ

t = 6,25 s

2.Кинематика

Ответ: t = 2,727 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

60 − ½g·t² = 22·t − ½g·t² → t = 60/22 = 2,727 s

Ответ

t = 2,727 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,27 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (10 − 5)·9,81/(10 + 5) = 3,27 m/s²

Ответ

a = 3,27 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 7,526 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 53,96 N

m₁·g·sin θ = 4,146 N

μ·m₁·g·cos θ = 0,8891 N

Ускорение системы

a = (53,96 − 4,146 − 0,8891)/6,5 = 7,526 m/s²

Ответ

a = 7,526 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 16,51 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 30° = 31,18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 30° = 18 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 18²/(2·9,81) = 16,51 m

Ответ

H = 16,51 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 110,4 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 24,04 m/s, v_y = 24,04 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

7 = 24,04·t − 4,905·t²

t = (24,04 + √(24,04² − 2·9,81·7))/9,81 = 4,591 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 24,04·4,591 = 110,4 m

Ответ

x = 110,4 m

7.Работа и энергия

Ответ: v = 7,822 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·11·(0,5 − 0,25·0,866)) = 7,822 m/s

Ответ

v = 7,822 m/s

8.Работа и энергия

Ответ: v = 7,708 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 33,55 N

μ·mg·cos θ = 18,44 N

Работа и энергия

½mv² = (85 − 51,99)·9 = 297,1 J

v = √(2·297,1/10) = 7,708 m/s

Ответ

v = 7,708 m/s

9.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 9000 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1000·6/2000 = 3 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1000·6² = 18000 J

K_after = ½·2000·3² = 9000 J

Потерянная энергия

ΔK = 18000 − 9000 = 9000 J

Ответ

ΔK = 9000 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

10.Импульс и столкновения

Ответ: v = 398,4 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,2·(1 − cos 20°) = 0,07237 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,07237) = 1,192 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 4,012·1,192/0,012 = 398,4 m/s

Ответ

v = 398,4 m/s

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 128,8 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·7,5 = 128,8 kN

Ответ

F = 128,8 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 89,03 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,75·3,75 = 89,03 kN

Ответ

F = 89,03 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 4,678 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Идеальная скорость струи

√(2gh) = √(2·9,81·6) = 10,85 m/s

Действительный расход

Коэффициент расхода учитывает сжатие струи и трение у кромки.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,61·0,0007069·10,85 = 0,004678 m³/s = 4,678 L/s

Ответ

Q = 4,678 L/s

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 13,02 m/s

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(70000/1000 + 9,81·1,5)) = 13,02 m/s

Ответ

v = 13,02 m/s

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: P = 332,3 kPa

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = m/M = 30/28,01 = 1,071 mol

T = 100 + 273,15 = 373,1 K

Давление

P = nRT/V = 1,071·8,314·373,1/0,01 = 332,3 kPa

Ответ

P = 332,3 kPa

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 4,845 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 0 + 273,15 = 273,1 K

Плотность

ρ = 250·44,01/(8,314·273,1) = 4,845 kg/m³

Ответ

ρ = 4,845 kg/m³

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Q̇_H = 2,173 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 28 + 273,15 = 301,1 K

T_L = 4 + 273,15 = 277,1 K

Отношение теплот для обратимого цикла

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 2·301,1/277,1 = 2,173 kW

Ответ

Q̇_H = 2,173 kW

Потребляемая мощность: Ẇ = 0,1732 kW.

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ_min = 0,5593 kW

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = 4 + 273,15 = 277,1 K

Наилучший возможный COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 277,1/(308,1 − 277,1) = 8,94

Минимальная мощность

Меньше всего работы нужно обратимой машине, у которой наибольший COP.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 5/8,94 = 0,5593 kW

Ответ

Ẇ_min = 0,5593 kW

19.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_c = 42,86 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Преломление под 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/1,47 = 0,6803

Критический угол

θc = arcsin(0,6803) = 42,86°

Ответ

θ_c = 42,86°

20.Волны, звук и оптика

Ответ: θ₁ = 22,32 °

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/600 mm = 1,667 × 10⁻⁶ m

Уравнение решётки

sin θ = mλ/d = 1·633 × 10⁻⁹/(1,667 × 10⁻⁶) = 0,3798

θ = 22,32°

Ответ

θ₁ = 22,32°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers