Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 50 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,8 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 5,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 50 km/ht_r = 0,8 sa = −5,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 1,5 m/s² в течение 6 s, затем движется с постоянной скоростью 9 s и, наконец, тормозит с замедлением 2,5 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 6 st₂ = 9 sa₃ = −2,5 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 8 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 8 kgθ = 45°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3,5 kg на наклонной плоскости под углом 20° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 3 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 3 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 30 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 15 m/s под углом 30° к горизонту с вершины обрыва высотой 40 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v, с которой он ударяется о землю.

v₀ = 15 m/sθ = 30°h = 40 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 10 kg скользит 9 m по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,25. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 10 kgθ = 20°μ = 0,25d = 9 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 8 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,4). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 5 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 1,5 m.

m₁ = 8 kgm₂ = 5 kgμ = 0,4d = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2 kg, движущаяся со скоростью 10 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 2 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1600 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 800 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 24 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,75. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1600 kgm₂ = 800 kgd = 24 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода вытекает из большого открытого резервуара через отверстие с острой кромкой диаметром 20 mm. Уровень воды поддерживается на 3,5 m выше отверстия, коэффициент расхода равен 0,65. Найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 3,5 mC_d = 0,65g = 9,81 m/s²

Q = L/s

14.Неразрывность и БернуллиСложная

Шланг с внутренним диаметром 32 mm работает как сифон, отбирая воду из открытого резервуара. Наивысшая точка C шланга находится на 1,5 m выше поверхности воды, а выход (открытый в атмосферу) — на 1 m ниже поверхности воды. Пренебрегите потерями и примите g = 9,81 m/s². Найдите расход Q.

d = 32 mmz_C = +1,5 mz₂ = −1 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Резервуар объёмом 10 L содержит 160 g газа (CH₄) при 5 °C. Считайте газ идеальным и найдите давление P.

m = 160 gM = 16,04 g/molV = 10 LT = 5 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (CH₄) при 100 kPa и 180 °C, считая его идеальным.

M = 16,04 g/molP = 100 kPaT = 180 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 800 °C и холодным при 40 °C. Найдите наибольший возможный термический КПД η_max.

T_H = 800 °CT_L = 40 °C

η_max = %

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловой насос подаёт 5 kW теплоты в систему отопления при 55 °C, забирая теплоту от источника при -10 °C. Его действительный COP составляет 45% от COP Карно между этими температурами. Найдите потребляемую им электрическую мощность Ẇ.

T_H = 55 °CT_L = -10 °Cη_II = 45%Q̇_H = 5 kW

Ẇ = kW

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, закрытая с одного конца имеет длину 0,6 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₇ для режима: гармоника номер 7.

v = 343 m/sn = 7L = 0,6 m

f₇ = Hz

20.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный датчик посылает ультразвук 25 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 30 m/s, и смешивает эхо с излучаемым сигналом. Найдите частоту биений f_b (скорость звука 343 m/s).

f = 25 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 28,65 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 13,89·0,8 = 11,11 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·5,5) = 17,54 m

Итого

d = 11,11 + 17,54 = 28,65 m

Ответ

d = 28,65 m

2.Кинематика

Ответ: s = 124,2 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 1,5·6 = 9 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·1,5·6² = 27 m

s₂ = 9·9 = 81 m

s₃ = 9²/(2·2,5) = 16,2 m

Полный путь

s = 27 + 81 + 16,2 = 124,2 m

Ответ

s = 124,2 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,203 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 45° − 0,25·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1768) = 5,203 m/s²

Ответ

a = 5,203 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 23,5 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль нити

m₂·g = 29,43 N

m₁·g·sin θ = 11,74 N

μ·m₁·g·cos θ = 4,84 N

Ускорение системы

a = (29,43 − 11,74 − 4,84)/6,5 = 1,976 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 3·(9,81 − 1,976) = 23,5 N

Ответ

T = 23,5 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 79,45 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 60° = 15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 60° = 25,98 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·25,98/9,81 = 5,297 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 15·5,297 = 79,45 m

Ответ

x = 79,45 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v = 31,78 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 15·cos 30° = 12,99 m/s

v_y0 = 15·sin 30° = 7,5 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(7,5² + 2·9,81·40) = 29 m/s

Скорость при ударе

v = √(12,99² + 29²) = 31,78 m/s

Ответ

v = 31,78 m/s

Проверка по энергии: v² = v₀² + 2gh.

7.Работа и энергия

Ответ: W_f = 207,4 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 98,1·0,9397 = 92,18 N

F = μN = 0,25·92,18 = 23,05 N

Работа против трения

W_f = F·d = 23,05·9 = 207,4 J

Ответ

W_f = 207,4 J

8.Работа и энергия

Ответ: v = 2,019 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 49,05·1,5 = 73,58 J

μ·m₁g·d = 0,4·78,48·1,5 = 47,09 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 26,49 → v = √(2·26,49/13) = 2,019 m/s

Ответ

v = 2,019 m/s

9.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 6,154 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2 − 4,5)/(2 + 4,5)·10 = −3,846 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 4,5)·10 = 6,154 m/s

Ответ

v′₂ = 6,154 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 28,19 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·24) = 18,79 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2400·18,79/1600 = 28,19 m/s

Ответ

v₁ = 28,19 m/s

(101,5 km/h)

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 29,43 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·1 = 29,43 kN

Ответ

F = 29,43 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 157 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·4 = 157 kN

Ответ

F = 157 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 1,692 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Идеальная скорость струи

√(2gh) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Действительный расход

Коэффициент расхода учитывает сжатие струи и трение у кромки.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,65·0,0003142·8,287 = 0,001692 m³/s = 1,692 L/s

Ответ

Q = 1,692 L/s

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 3,562 L/s

Скорость в шланге

Поверхность и выход открыты в атмосферу, поэтому члены с давлением сокращаются.

v = √(2g·1) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s

Расход

Q = A·v = 0,0008042·4,429 = 0,003562 m³/s = 3,562 L/s

Ответ

Q = 3,562 L/s

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: P = 2307 kPa

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = m/M = 160/16,04 = 9,975 mol

T = 5 + 273,15 = 278,1 K

Давление

P = nRT/V = 9,975·8,314·278,1/0,01 = 2307 kPa

Ответ

P = 2307 kPa

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 0,4257 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273,15 = 453,1 K

Плотность

ρ = 100·16,04/(8,314·453,1) = 0,4257 kg/m³

Ответ

ρ = 0,4257 kg/m³

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: η_max = 70,82 %

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 800 + 273,15 = 1073 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313,1/1073 = 70,82 %

Ответ

η_max = 70,82 %

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ = 2,201 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 55 + 273,15 = 328,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

COP Карно и действительный COP

COP_max = 328,1/(328,1 − 263,1) = 5,048

COP = 0,45·5,048 = 2,272

Потребляемая мощность

Ẇ = Q̇_H/COP = 5/2,272 = 2,201 kW

Ответ

Ẇ = 2,201 kW

19.Волны, звук и оптика

Ответ: f₇ = 1000 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 4L/n = 4·0,6/7 = 0,3429 m

Частота

f = v/λ = 343/0,3429 = 1000 Hz

Ответ

f₇ = 1000 Hz

20.Волны, звук и оптика

Ответ: f_b = 4792 Hz

Частота у автомобиля

f′ = 25000·(343 + 30)/343 = 27187 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 30) = 29792 Hz

Частота биений

f_b = |f″ − f| = 4792 Hz

Ответ

f_b = 4792 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers