Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 100 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,2 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 7 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 100 km/ht_r = 1,2 sa = −7 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 40 m/s², направленное вверх, в течение 1 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 40 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 7 kg и 1,5 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 7 kgm₂ = 1,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9,5 kg на наклонной плоскости под углом 25° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 7 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 7 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 24 m/s, и он должен упасть на расстоянии 35 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 24 m/sR = 35 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 25° к горизонту с вершины скалы высотой 60 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 33 m/sθ = 25°h = 60 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 9 m по наклонной плоскости под углом 15° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 15°μ = 0,15d = 9 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 2500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2,5 kgh = 4,5 mL = 3,5 mμ = 0,1k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 19 kg, движущийся горизонтально со скоростью 32 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 3 kg продолжает движение вперёд со скоростью 69 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 16 kg (положительна в исходном направлении).

M = 19 kgu = 32 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 69 m/sm₂ = 16 kg

v′₂ = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,15 kg ударяется о стену со скоростью 11 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 13 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,15 kgv_in = 11 m/sv_out = 13 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 2 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Трубка Пито — Прандтля в водопроводной трубе показывает разность 6 kPa между давлением торможения и статическим давлением. Найдите скорость воды v у носика трубки.

p₀ − p = 6 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 150 mm до 50 mm и поднимается на 4 m. В сечении 1 давление 140 kPa, а скорость 0,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 140 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 330 g газа (He) при 300 kPa и 75 °C? Считайте газ идеальным.

m = 330 gM = 4,003 g/molP = 300 kPaT = 75 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (O₂) переходит от 100 kPa, 10 L, 35 °C к 350 kPa и 230 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 100 kPaV₁ = 10 LT₁ = 35 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 230 °C

V₂ = L

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 300 °C и холодным при 25 °C. Найдите наибольший возможный термический КПД η_max.

T_H = 300 °CT_L = 25 °C

η_max = %

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловой насос поддерживает в доме 22 °C, когда на улице 7 °C, и подаёт в дом 11 kW теплоты. Найдите минимальную необходимую мощность Ẇ_min.

T_H = 22 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 11 kW

Ẇ_min = kW

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Одна машина создаёт уровень звука 75 dB в некоторой точке. Найдите уровень β в этой точке, когда одновременно работают 3 одинаковых машин (некогерентные источники).

β₁ = 75 dBn = 3

β = dB

20.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,5 и оболочка с n₂ = 1,4. Найдите наибольший угол θ_a к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n₁ = 1,5n₂ = 1,4n₀ = 1,00

θ_a = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 88,45 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 27,78·1,2 = 33,33 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·7) = 55,11 m

Итого

d = 33,33 + 55,11 = 88,45 m

Ответ

d = 88,45 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 101,5 m

Активный участок

v₁ = 40·1 = 40 m/s

h₁ = ½·40·1² = 20 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 40²/(2·9,81) = 81,55 m

h_max = 20 + 81,55 = 101,5 m

Ответ

h_max = 101,5 m

3.Законы Ньютона

Ответ: T = 24,24 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (7 − 1,5)·9,81/(7 + 1,5) = 6,348 m/s²

Натяжение по лёгкому грузу

T − m₂·g = m₂·a → T = 1,5·(9,81 + 6,348) = 24,24 N

Ответ

T = 24,24 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,007 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 68,67 N

m₁·g·sin θ = 39,39 N

μ·m₁·g·cos θ = 12,67 N

Ускорение системы

a = (68,67 − 39,39 − 12,67)/16,5 = 1,007 m/s²

Ответ

a = 1,007 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 18,3 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·35/24² = 0,5961

Угол

2θ = 36,59° → θ = 18,3°

Ответ

θ = 18,3°

Второе решение: 90° − θ = 71,7°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 155,4 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 25° = 29,91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 25° = 13,95 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 60 + 13,95·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13,95 + √(194,5 + 1177))/9,81 = 5,197 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 29,91·5,197 = 155,4 m

Ответ

x = 155,4 m

7.Работа и энергия

Ответ: W_f = 51,17 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,9659 = 37,9 N

F = μN = 0,15·37,9 = 5,685 N

Работа против трения

W_f = F·d = 5,685·9 = 51,17 J

Ответ

W_f = 51,17 J

8.Работа и энергия

Ответ: x = 28,53 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(4,5 − 0,1·3,5) = 101,8 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 101,8 → x = √(2·101,8/2500) = 0,2853 m = 28,53 cm

Ответ

x = 28,53 cm

9.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 25,06 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 19·32 = 608 kg·m/s

Импульс после удара

608 = 3·69 + 16·v′₂

v′₂ = (608 − 207)/16 = 25,06 m/s

Ответ

v′₂ = 25,06 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 144 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,15·(13 + 11) = 3,6 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 3,6/0,025 = 144 N

Ответ

F_avg = 144 N

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 165,5 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·4,5 = 165,5 kN

Ответ

F = 165,5 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 37,71 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,5·1,5 = 37,71 kN

Ответ

F = 37,71 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 3,464 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Уравнение Бернулли до точки торможения

У носика поток останавливается, поэтому его кинетическая энергия проявляется как дополнительное давление.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·6000/1000) = 3,464 m/s

Ответ

v = 3,464 m/s

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 78,26 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(150/50)² = 6,75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 6,75²)/1000 = −22,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 140 + (−22,5) − 39,24 = 78,26 kPa

Ответ

p₂ = 78,26 kPa

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 795,4 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 330/4,003 = 82,44 mol

T = 75 + 273,15 = 348,1 K

Объём

V = nRT/P = 82,44·8,314·348,1/300 = 795,4 L

Ответ

V = 795,4 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 4,665 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 308,1 K, T₂ = 503,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(100/350)·(503,1/308,1) = 4,665 L

Ответ

V₂ = 4,665 L

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: η_max = 47,98 %

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 300 + 273,15 = 573,1 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298,1/573,1 = 47,98 %

Ответ

η_max = 47,98 %

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ_min = 0,559 kW

Абсолютные температуры

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 7 + 273,15 = 280,1 K

Наилучший возможный COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295,1/(295,1 − 280,1) = 19,68

Минимальная мощность

Меньше всего работы нужно обратимой машине, у которой наибольший COP.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 11/19,68 = 0,559 kW

Ответ

Ẇ_min = 0,559 kW

19.Волны, звук и оптика

Ответ: β = 79,77 dB

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Суммарная интенсивность

I = 3·I₁

Уровень

β = 75 + 10·log₁₀(3) = 79,77 dB

Ответ

β = 79,77 dB

20.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_a = 32,58 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,4/1,5 = 0,9333 → θc = 68,96°

Числовая апертура

NA = √(1,5² − 1,4²) = 0,5385

Угол приёма

θ_a = arcsin(0,5385) = 32,58°

Ответ

θ_a = 32,58°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers