Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 108 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,3 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 108 km/ht_r = 1,3 sa = −7,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч A без начальной скорости падает с высоты 30 m. В тот же момент мяч B бросают вертикально вверх с земли прямо под ним со скоростью 23 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Когда мячи встретятся? Найдите t.

H = 30 mv_0B = 23 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 5 m/s и останавливается через 5,1 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 5 m/sd = 5,1 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 8 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 8 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 18 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 33 m/s под углом 65° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 6 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 33 m/sθ = 65°h_roof = 6 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1000 kg въезжает на подъём 4° с постоянной скоростью 54 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 650 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1000 kgθ = 4°F_r = 650 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 4 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,15). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 2 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 0,5 m.

m₁ = 4 kgm₂ = 2 kgμ = 0,15d = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 14 kg, движущийся горизонтально со скоростью 29 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 1 kg продолжает движение вперёд со скоростью 64 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 13 kg (положительна в исходном направлении).

M = 14 kgu = 29 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 64 m/sm₂ = 13 kg

v′₂ = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,25 kg ударяется о стену со скоростью 30 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 16 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,25 kgv_in = 30 m/sv_out = 16 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 75 mm до 50 mm. В широкой части давление 320 kPa, а скорость 2,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 320 kPav₁ = 2,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 150 mm до 100 mm и поднимается на 7 m. В сечении 1 давление 230 kPa, а скорость 2,5 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 230 kPav₁ = 2,5 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 380 g газа (Ar) при 750 kPa и 55 °C? Считайте газ идеальным.

m = 380 gM = 39,95 g/molP = 750 kPaT = 55 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (CO₂) переходит от 300 kPa, 20 L, 35 °C к 250 kPa и 250 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 300 kPaV₁ = 20 LT₁ = 35 °CP₂ = 250 kPaT₂ = 250 °C

V₂ = L

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 300 °C и холодным при 35 °C. Найдите наибольший возможный термический КПД η_max.

T_H = 300 °CT_L = 35 °C

η_max = %

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловой насос поддерживает в доме 21 °C, когда на улице -10 °C, и подаёт в дом 7 kW теплоты. Найдите наибольший возможный холодильный коэффициент COP_max.

T_H = 21 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 7 kW

COP_max =

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Источник частотой 1000 Hz движется со скоростью 25 m/s к неподвижному наблюдателю. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f′, которую слышит наблюдатель.

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 25 m/s

f′ = Hz

20.Волны, звук и оптикаСложная

Свет с длиной волны 656 nm падает под прямым углом на решётку с 500 штрихами на миллиметр. Найдите угол θ₂ максимума порядка 2.

N = 500 mm⁻¹λ = 656 nmm = 2

θ₂ = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 99 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 30·1,3 = 39 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·7,5) = 60 m

Итого

d = 39 + 60 = 99 m

Ответ

d = 99 m

2.Кинематика

Ответ: t = 1,304 s

Время встречи

Направление вверх положительно, земля — y = 0.

30 − ½g·t² = 23·t − ½g·t² → t = 30/23 = 1,304 s

Ответ

t = 1,304 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,2498

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 5²/(2·5,1) = 2,451 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,451/9,81 = 0,2498

Ответ

μ = 0,2498

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 1,588 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 7,848)/10,5 = 1,588 m/s²

Ответ

a = 1,588 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 5,433 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 35° = 14,74 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 35° = 10,32 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 10,32²/(2·9,81) = 5,433 m

Ответ

H = 5,433 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 82,14 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 13,95 m/s, v_y = 29,91 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

6 = 29,91·t − 4,905·t²

t = (29,91 + √(29,91² − 2·9,81·6))/9,81 = 5,89 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 13,95·5,89 = 82,14 m

Ответ

x = 82,14 m

7.Работа и энергия

Ответ: P = 20,01 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1000·9,81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 4° = 684,3 N

F = 684,3 + 650 = 1334 N

Мощность

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 1334·15 = 20015 W = 20,01 kW

Ответ

P = 20,01 kW

8.Работа и энергия

Ответ: v = 1,513 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 19,62·0,5 = 9,81 J

μ·m₁g·d = 0,15·39,24·0,5 = 2,943 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 6,867 → v = √(2·6,867/6) = 1,513 m/s

Ответ

v = 1,513 m/s

9.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 26,31 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 14·29 = 406 kg·m/s

Импульс после удара

406 = 1·64 + 13·v′₂

v′₂ = (406 − 64)/13 = 26,31 m/s

Ответ

v′₂ = 26,31 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: J = 11,5 N·s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,25·(16 + 30) = 11,5 N·s

Ответ

J = 11,5 N·s

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 29,43 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·1 = 29,43 kN

Ответ

F = 29,43 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 73,58 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Ответ

F = 73,58 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 304,6 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(75/50)² = 6,188 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 6,188²)/1000 = −15,36 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 320 + (−15,36) = 304,6 kPa

Ответ

p₂ = 304,6 kPa

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 148,6 kPa

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(150/100)² = 5,625 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 5,625²)/1000 = −12,7 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 230 + (−12,7) − 68,67 = 148,6 kPa

Ответ

p₂ = 148,6 kPa

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 34,6 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 380/39,95 = 9,512 mol

T = 55 + 273,15 = 328,1 K

Объём

V = nRT/P = 9,512·8,314·328,1/750 = 34,6 L

Ответ

V = 34,6 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 40,75 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 308,1 K, T₂ = 523,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(300/250)·(523,1/308,1) = 40,75 L

Ответ

V₂ = 40,75 L

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: η_max = 46,24 %

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 300 + 273,15 = 573,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308,1/573,1 = 46,24 %

Ответ

η_max = 46,24 %

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: COP_max = 9,489

Абсолютные температуры

T_H = 21 + 273,15 = 294,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

Наилучший возможный COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294,1/(294,1 − 263,1) = 9,489

Ответ

COP_max = 9,489

19.Волны, звук и оптика

Ответ: f′ = 1079 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 0)/(343 − 25)

f′ = 1079 Hz

Ответ

f′ = 1079 Hz

20.Волны, звук и оптика

Ответ: θ₂ = 41 °

Интерференция и дифракция: свет от двух щелей на расстоянии d друг от друга приходит в точку на экране с разностью хода d·sin θ. Светлые полосы появляются там, где d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для экрана на расстоянии L ≫ d m-я светлая полоса находится при y = mλL/d, а расстояние между полосами равно Δy = λL/d. У решётки с N штрихами на миллиметр d = 1/N, а резкие максимумы находятся при d·sin θ = mλ; так как sin θ ≤ 1, наивысший порядок — наибольшее целое число m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Расстояние между штрихами

d = 1/500 mm = 2 × 10⁻⁶ m

Уравнение решётки

sin θ = mλ/d = 2·656 × 10⁻⁹/(2 × 10⁻⁶) = 0,656

θ = 41°

Ответ

θ₂ = 41°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers