Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 108 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 108 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 28 m/s², направленное вверх, в течение 1,5 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Через сколько времени после старта она упадёт на землю? Найдите t.

a = 28 m/s²t₁ = 1,5 sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 10 kg и 4,5 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a грузов.

m₁ = 10 kgm₂ = 4,5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 20° со скоростью 4 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 4 m/sθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 30 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с вершины скалы высотой 5 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 28 m/sθ = 30°h = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 0,5 kg висит на лёгкой нити длиной 0,8 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 40° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 0,5 kgL = 0,8 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = N

8.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 5000 N/m у основания наклонной плоскости 20° сжимают на 5 cm бруском массой 2 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 2 kgk = 5000 N/mx = 5 cmθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

9.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 4,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 3 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 8 gM = 4,5 kgh = 3 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1800 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1800 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 14 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1800 kgm₂ = 1800 kgd = 14 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 100 mm до 40 mm. В широкой части давление 150 kPa, а скорость 2,25 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 150 kPav₁ = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.Неразрывность и БернуллиСложная

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 60 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 20 mm, расположенное на 2,5 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите скорость струи v. Примите g = 9,81 m/s².

p_air = 60 kPa (избыточное)h = 2,5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Резервуар объёмом 5 L содержит 140 g газа (He) при 55 °C. Считайте газ идеальным и найдите давление P.

m = 140 gM = 4,003 g/molV = 5 LT = 55 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (O₂) при 800 kPa и 70 °C, считая его идеальным.

M = 32 g/molP = 800 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Обратимая тепловая машина (машина Карно) за цикл получает 2300 kJ теплоты от резервуара при 575 °C и отдаёт 809 kJ. Найдите температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 575 °CQ_H = 2300 kJQ_L = 809 kJ

T_L = °C

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловой насос подаёт 17 kW теплоты в систему отопления при 22 °C, забирая теплоту от источника при 7 °C. Его действительный COP составляет 40% от COP Карно между этими температурами. Найдите потребляемую им электрическую мощность Ẇ.

T_H = 22 °CT_L = 7 °Cη_II = 40%Q̇_H = 17 kW

Ẇ = kW

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 6 cm перед тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием 12 cm. Найдите расстояние до изображения d_i. Используйте правило знаков 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для рассеивающей линзы, d_i < 0 для мнимого изображения).

d_o = 6 cmf = −12 cm

d_i = cm

20.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,5 и оболочка с n₂ = 1,4. Найдите наибольший угол θ_a к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n₁ = 1,5n₂ = 1,4n₀ = 1,00

θ_a = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 7,5 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/4 = 7,5 s

Ответ

t = 7,5 s

2.Кинематика

Ответ: t = 10,76 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активный участок

v₁ = 28·1,5 = 42 m/s

h₁ = ½·28·1,5² = 31,5 m

Свободный полёт до земли

Решите −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² и возьмите положительный корень.

t₂ = (42 + √(42² + 2·9,81·31,5))/9,81 = 9,256 s

t = 1,5 + 9,256 = 10,76 s

Ответ

t = 10,76 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,721 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (10 − 4,5)·9,81/(10 + 4,5) = 3,721 m/s²

Ответ

a = 3,721 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 1,413 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 20° + 0,25·cos 20°) = 5,66 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 4²/(2·5,66) = 1,413 m

Ответ

d = 1,413 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,931 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 40° = 22,98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 40° = 19,28 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·19,28/9,81 = 3,931 s

Ответ

t = 3,931 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 77 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 30° = 24,25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 30° = 14 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 5 + 14·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14 + √(196 + 98,1))/9,81 = 3,175 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 24,25·3,175 = 77 m

Ответ

x = 77 m

7.Работа и энергия

Ответ: T = 7,2 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 40°) = 3,672 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·3,672/0,8 = 7,2 N

Ответ

T = 7,2 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 7,2 N.

8.Работа и энергия

Ответ: d = 0,7306 m

Энергия пружины

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·5000·0,05² = 6,25 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 6,25/(19,62·(0,342 + 0,1·0,9397)) = 0,7306 m

Ответ

d = 0,7306 m

9.Импульс и столкновения

Ответ: v = 432,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,03) = 0,7672 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 4,5)·0,7672/0,008 = 432,3 m/s

Ответ

v = 432,3 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 29,65 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·14) = 14,82 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3600·14,82/1800 = 29,65 m/s

Ответ

v₁ = 29,65 m/s

(106,7 km/h)

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 176,6 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN

Ответ

F = 176,6 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,028 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3·1,5 = 45,25 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 0,125/(3·1,5) = 3,028 m

Ответ

y_cp = 3,028 m

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 53,65 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(100/40)² = 14,06 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 14,06²)/1000 = −96,35 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 150 + (−96,35) = 53,65 kPa

Ответ

p₂ = 53,65 kPa

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 13 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(60000/1000 + 9,81·2,5)) = 13 m/s

Ответ

v = 13 m/s

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: P = 19083 kPa

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = m/M = 140/4,003 = 34,97 mol

T = 55 + 273,15 = 328,1 K

Давление

P = nRT/V = 34,97·8,314·328,1/0,005 = 19083 kPa

Ответ

P = 19083 kPa

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 8,973 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Плотность

ρ = 800·32/(8,314·343,1) = 8,973 kg/m³

Ответ

ρ = 8,973 kg/m³

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_L = 25,18 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютная температура источника

T_H = 575 + 273,15 = 848,1 K

Отношение теплот для обратимого цикла

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 848,1·809/2300 = 298,3 K = 25,18 °C

Ответ

T_L = 25,18 °C

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ = 2,16 kW

Абсолютные температуры

T_H = 22 + 273,15 = 295,1 K

T_L = 7 + 273,15 = 280,1 K

COP Карно и действительный COP

COP_max = 295,1/(295,1 − 280,1) = 19,68

COP = 0,4·19,68 = 7,871

Потребляемая мощность

Ẇ = Q̇_H/COP = 17/7,871 = 2,16 kW

Ответ

Ẇ = 2,16 kW

19.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −4 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−12) − 1/6

d_i = −4 cm

Ход лучей

мнимое, по ту же сторону, что и предмет

Ответ

d_i = −4 cm

20.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_a = 32,58 °

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,4/1,5 = 0,9333 → θc = 68,96°

Числовая апертура

NA = √(1,5² − 1,4²) = 0,5385

Угол приёма

θ_a = arcsin(0,5385) = 32,58°

Ответ

θ_a = 32,58°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers