Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 27 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 4 m/s². Через сколько времени полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите t.

v_car = 27 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 9 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 9 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 11 m/s и останавливается через 21 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 11 m/sd = 21 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 36 m/s под углом 40° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 39 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 36 m/sθ = 40°x = 39 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 38 m/s под углом 45° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 4 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 38 m/sθ = 45°h_roof = 4 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 0,5 kg висит на лёгкой нити длиной 0,8 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 40° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 0,5 kgL = 0,8 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = N

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 2000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 1 kgh = 2,5 mL = 2,5 mμ = 0,2k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 4 kg, движущийся горизонтально со скоростью 7 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 2 kg продолжает движение вперёд со скоростью 63 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 2 kg (положительна в исходном направлении).

M = 4 kgu = 7 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 63 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,6 kg ударяется о стену со скоростью 12 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 5 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,6 kgv_in = 12 m/sv_out = 5 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода с расходом 19 L/s течёт по горизонтальной трубе, сужающейся с 200 mm до 150 mm. Давление в узком сечении равно 120 kPa. Пренебрегая потерями, найдите давление p₁ в широком сечении.

Q = 19 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₂ = 120 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.Неразрывность и БернуллиСложная

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 40 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 25 mm, расположенное на 1 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

p_air = 40 kPa (избыточное)h = 1 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 380 g газа (He) при 300 kPa и 95 °C? Считайте газ идеальным.

m = 380 gM = 4,003 g/molP = 300 kPaT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (He) при 600 kPa и 20 °C, считая его идеальным.

M = 4,003 g/molP = 600 kPaT = 20 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Обратимая тепловая машина (машина Карно) за цикл получает 600 kJ теплоты от резервуара при 325 °C и отдаёт 304 kJ. Найдите температуру T_L холодного резервуара в °C.

T_H = 325 °CQ_H = 600 kJQ_L = 304 kJ

T_L = °C

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Две машины Карно работают последовательно. Машина A получает теплоту от резервуара при 900 °C и отдаёт теплоту промежуточному резервуару при температуре T_m. Машина B забирает всю эту теплоту и отдаёт теплоту резервуару при 25 °C. Обе машины имеют одинаковый термический КПД. Найдите T_m в °C.

T_H = 900 °CT_L = 25 °C

T_m = °C

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов должна иметь следующий режим на частоте 1319 Hz: гармоника номер 5. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.

v = 343 m/sn = 5f₅ = 1319 Hz

L = m

20.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный парковочный датчик посылает ультразвук 25 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 20 m/s. Найдите частоту f″ эха, принятого обратно датчиком (скорость звука 343 m/s).

f = 25 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 13,5 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·27/4 = 13,5 s

Ответ

t = 13,5 s

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 54 m/s.

2.Кинематика

Ответ: t = 3,555 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−30 = 9·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 9·t − 30 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (9 + √(9² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,555 s

Ответ

t = 3,555 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,2937

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 11²/(2·21) = 2,881 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,881/9,81 = 0,2937

Ответ

μ = 0,2937

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,723 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 3,679)/4,5 = 5,723 m/s²

Ответ

a = 5,723 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 22,92 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 36·cos 40° = 27,58 m/s

t = x/v_x = 39/27,58 = 1,414 s

Высота в этот момент

y = 23,14·1,414 − ½·9,81·1,414² = 22,92 m

Ответ

y = 22,92 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 143,1 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 26,87 m/s, v_y = 26,87 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

4 = 26,87·t − 4,905·t²

t = (26,87 + √(26,87² − 2·9,81·4))/9,81 = 5,325 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 26,87·5,325 = 143,1 m

Ответ

x = 143,1 m

7.Работа и энергия

Ответ: T = 7,2 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 40°) = 3,672 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·3,672/0,8 = 7,2 N

Ответ

T = 7,2 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 7,2 N.

8.Работа и энергия

Ответ: x = 14,01 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(2,5 − 0,2·2,5) = 19,62 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 19,62 → x = √(2·19,62/2000) = 0,1401 m = 14,01 cm

Ответ

x = 14,01 cm

9.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −49 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 4·7 = 28 kg·m/s

Импульс после удара

28 = 2·63 + 2·v′₂

v′₂ = (28 − 126)/2 = −49 m/s

Ответ

v′₂ = −49 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

10.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 408 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,6·(5 + 12) = 10,2 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 10,2/0,025 = 408 N

Ответ

F_avg = 408 N

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 202,3 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·7,5 = 202,3 kN

Ответ

F = 202,3 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 5,636 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·5,5·3 = 203,9 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,5 + 2,25/(5,5·3) = 5,636 m

Ответ

y_cp = 5,636 m

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₁ = 120,4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорости

v₁ = Q/A₁ = 0,019/0,03142 = 0,6048 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,019/0,01767 = 1,075 m/s

Бернулли

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 120 + ½·1000·(1,075² − 0,6048²)/1000 = 120 + 0,3951 = 120,4 kPa

Ответ

p₁ = 120,4 kPa

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 4,899 L/s

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(40000/1000 + 9,81·1)) = 9,981 m/s

Расход

Q = A·v = 0,0004909·9,981 = 0,004899 m³/s = 4,899 L/s

Ответ

Q = 4,899 L/s

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 968,5 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 380/4,003 = 94,93 mol

T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Объём

V = nRT/P = 94,93·8,314·368,1/300 = 968,5 L

Ответ

V = 968,5 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 0,9855 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 20 + 273,15 = 293,1 K

Плотность

ρ = 600·4,003/(8,314·293,1) = 0,9855 kg/m³

Ответ

ρ = 0,9855 kg/m³

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_L = 29,91 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютная температура источника

T_H = 325 + 273,15 = 598,1 K

Отношение теплот для обратимого цикла

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 598,1·304/600 = 303,1 K = 29,91 °C

Ответ

T_L = 29,91 °C

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_m = 318,3 °C

Абсолютные температуры

T_H = 900 + 273,15 = 1173 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

Равные КПД

1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m даёт T_m² = T_H·T_L.

T_m = √(1173·298,1) = 591,4 K = 318,3 °C

Ответ

T_m = 318,3 °C

19.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 0,6501 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 343/1319 = 0,26 m

Длина

L = nλ/2 = 5·0,26/2 = 0,6501 m

Ответ

L = 0,6501 m

20.Волны, звук и оптика

Ответ: f″ = 28096 Hz

Частота у автомобиля

f′ = 25000·(343 + 20)/343 = 26458 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 20) = 28096 Hz

Ответ

f″ = 28096 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers