Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 45 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,6 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 8 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 45 km/ht_r = 0,6 sa = −8 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 24 m/s², направленное вверх, в течение 1 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 24 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 35 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 15° к горизонту с силой 150 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 35 kgF = 150 Nθ = 15°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 35° со скоростью 10 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 10 m/sθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 40 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 24 m/s под углом 70° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 12 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 24 m/sθ = 70°h_roof = 12 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 50 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,5. Найдите тормозной путь d.

v = 50 km/hμ = 0,5g = 9,81 m/s²

d = m

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 20 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 35° и тянется вверх по ней постоянной силой 195 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 8 m вверх по плоскости.

m = 20 kgF = 195 Nθ = 35°μ = 0,3d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3,5 kg, движущаяся со скоростью 11 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,1 kg ударяется о стену со скоростью 10 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 5 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,1 kgv_in = 10 m/sv_out = 5 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 200 mm до 100 mm. В широкой части давление 100 kPa, а скорость 0,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 100 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 150 mm до 100 mm и поднимается на 1 m. В сечении 1 давление 400 kPa, а скорость 0,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 400 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 270 g газа (CH₄) при 400 kPa и 25 °C? Считайте газ идеальным.

m = 270 gM = 16,04 g/molP = 400 kPaT = 25 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (Ar) при 550 kPa и 80 °C, считая его идеальным.

M = 39,95 g/molP = 550 kPaT = 80 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 200 °C и холодным при 35 °C. Она получает 2200 kJ теплоты. Найдите наибольшую работу W_max, которую она могла бы совершить.

T_H = 200 °CT_L = 35 °CQ_H = 2200 kJ

W_max = kJ

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Две машины Карно работают последовательно. Машина A получает теплоту от резервуара при 1000 °C и отдаёт теплоту промежуточному резервуару при температуре T_m. Машина B забирает всю эту теплоту и отдаёт теплоту резервуару при 25 °C. Обе машины имеют одинаковый термический КПД. Найдите T_m в °C.

T_H = 1000 °CT_L = 25 °C

T_m = °C

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 4 cm находится в 30 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 15 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 4 cmd_o = 30 cmf = 15 cm

h_i = cm

20.Волны, звук и оптикаСложная

Неподвижный парковочный датчик посылает ультразвук 40 kHz на автомобиль, приближающийся со скоростью 20 m/s. Найдите частоту f″ эха, принятого обратно датчиком (скорость звука 343 m/s).

f = 40 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 17,27 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 12,5·0,6 = 7,5 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·8) = 9,766 m

Итого

d = 7,5 + 9,766 = 17,27 m

Ответ

d = 17,27 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 41,36 m

Активный участок

v₁ = 24·1 = 24 m/s

h₁ = ½·24·1² = 12 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 24²/(2·9,81) = 29,36 m

h_max = 12 + 29,36 = 41,36 m

Ответ

h_max = 41,36 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,4 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 343,4 − 150·sin 15° = 304,5 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 144,9 − 60,91

a = 83,98/35 = 2,4 m/s²

Ответ

a = 2,4 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 6,912 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 35° + 0,2·cos 35°) = 7,234 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 10²/(2·7,234) = 6,912 m

Ответ

d = 6,912 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,077 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 30° = 34,64 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 30° = 20 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·20/9,81 = 4,077 s

Ответ

t = 4,077 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 32,7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 8,208 m/s, v_y = 22,55 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

12 = 22,55·t − 4,905·t²

t = (22,55 + √(22,55² − 2·9,81·12))/9,81 = 3,984 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 8,208·3,984 = 32,7 m

Ответ

x = 32,7 m

7.Работа и энергия

Ответ: d = 19,66 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 50/3,6 = 13,89 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13,89²/(2·0,5·9,81) = 19,66 m

Ответ

d = 19,66 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

8.Работа и энергия

Ответ: v = 5,234 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 20·9,81 = 196,2 N

mg·sin θ = 112,5 N

μ·mg·cos θ = 48,22 N

Работа и энергия

½mv² = (195 − 160,8)·8 = 274 J

v = √(2·274/20) = 5,234 m/s

Ответ

v = 5,234 m/s

9.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 3 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3,5 − 2)/(3,5 + 2)·11 = 3 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 2)·11 = 14 m/s

Ответ

v′₁ = 3 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: J = 1,5 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,1·(5 + 10) = 1,5 N·s

Ответ

J = 1,5 N·s

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 220,7 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·9 = 220,7 kN

Ответ

F = 220,7 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 2,167 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2·6 = 120,7 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 2/(2·6) = 2,167 m

Ответ

y_cp = 2,167 m

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 95,78 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(200/100)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 100 + (−4,219) = 95,78 kPa

Ответ

p₂ = 95,78 kPa

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 389 kPa

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(150/100)² = 1,688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 1,688²)/1000 = −1,143 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 400 + (−1,143) − 9,81 = 389 kPa

Ответ

p₂ = 389 kPa

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 104,3 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 270/16,04 = 16,83 mol

T = 25 + 273,15 = 298,1 K

Объём

V = nRT/P = 16,83·8,314·298,1/400 = 104,3 L

Ответ

V = 104,3 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 7,484 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 80 + 273,15 = 353,1 K

Плотность

ρ = 550·39,95/(8,314·353,1) = 7,484 kg/m³

Ответ

ρ = 7,484 kg/m³

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: W_max = 767,2 kJ

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 200 + 273,15 = 473,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308,1/473,1 = 34,87 %

Наибольшая работа

W_max = η_max·Q_H = 0,3487·2200 = 767,2 kJ

Ответ

W_max = 767,2 kJ

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: T_m = 343 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 1000 + 273,15 = 1273 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

Равные КПД

1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m даёт T_m² = T_H·T_L.

T_m = √(1273·298,1) = 616,1 K = 343 °C

Ответ

T_m = 343 °C

19.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = −4 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/30

d_i = 30 cm

Увеличение и высота

m = −30/30 = −1

h_i = −1·4 = −4 cm

Ответ

h_i = −4 cm

20.Волны, звук и оптика

Ответ: f″ = 44954 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Частота у автомобиля

f′ = 40000·(343 + 20)/343 = 42332 Hz

Частота эха

f″ = f′·343/(343 − 20) = 44954 Hz

Ответ

f″ = 44954 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers