Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 100 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,7 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 4 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 100 km/ht_r = 0,7 sa = −4 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 17 m/s с края крыши на высоте 25 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 17 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 4,5 m/s и останавливается через 21 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 4,5 m/sd = 21 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 4 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 45° к горизонту, и он падает на расстоянии 115 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 45°R = 115 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают с уровня земли со скоростью 23 m/s под углом 50° к горизонту. Он падает на плоскую крышу здания высотой 8 m, уже опускаясь. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите горизонтальное расстояние x от точки броска до места падения.

v₀ = 23 m/sθ = 50°h_roof = 8 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 17 m вдоль плоскости.

θ = 45°μ = 0,25d = 17 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3,5 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 0,5 kgh = 2 mL = 3,5 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 8 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,1 kg ударяется о стену со скоростью 27 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 19 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,1 kgv_in = 27 m/sv_out = 19 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 100 mm до 75 mm. В широкой части давление 230 kPa, а скорость 1,5 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 230 kPav₁ = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 200 mm до 75 mm и поднимается на 9 m. В сечении 1 давление 180 kPa, а скорость 1,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 180 kPav₁ = 1,75 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 240 g газа (N₂) при 700 kPa и 5 °C? Считайте газ идеальным.

m = 240 gM = 28,01 g/molP = 700 kPaT = 5 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (CO₂) при 100 kPa и 30 °C, считая его идеальным.

M = 44,01 g/molP = 100 kPaT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 600 °C и холодным при 15 °C. Найдите наибольший возможный термический КПД η_max.

T_H = 600 °CT_L = 15 °C

η_max = %

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловой насос подаёт 11 kW теплоты в систему отопления при 55 °C, забирая теплоту от источника при -10 °C. Его действительный COP составляет 35% от COP Карно между этими температурами. Найдите потребляемую им электрическую мощность Ẇ.

T_H = 55 °CT_L = -10 °Cη_II = 35%Q̇_H = 11 kW

Ẇ = kW

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Струна, закреплённая с обоих концов имеет длину 0,5 m; волны бегут по ней со скоростью 80 m/s. Найдите частоту f₅ для режима: гармоника номер 5.

v = 80 m/sn = 5L = 0,5 m

f₅ = Hz

20.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 10 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 40 cm. Найдите расстояние до изображения d_i: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

d_o = 10 cmR = 40 cm

d_i = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 115,9 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 27,78·0,7 = 19,44 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·4) = 96,45 m

Итого

d = 19,44 + 96,45 = 115,9 m

Ответ

d = 115,9 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 39,73 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9,81) = 14,73 m

Высота над землёй

h_max = 25 + 14,73 = 39,73 m

Ответ

h_max = 39,73 m

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,04915

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 4,5²/(2·21) = 0,4821 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,4821/9,81 = 0,04915

Ответ

μ = 0,04915

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 18,11 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 7,848)/6,5 = 2,566 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·2,566 + 7,848 = 18,11 N

Ответ

T = 18,11 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 33,59 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·115/sin 90°) = 33,59 m/s

Ответ

v₀ = 33,59 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 45,22 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 14,78 m/s, v_y = 17,62 m/s

Время до падения на крышу

Больший корень: мяч опускается.

8 = 17,62·t − 4,905·t²

t = (17,62 + √(17,62² − 2·9,81·8))/9,81 = 3,059 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 14,78·3,059 = 45,22 m

Ответ

x = 45,22 m

7.Работа и энергия

Ответ: v = 13,3 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·17·(0,7071 − 0,25·0,7071)) = 13,3 m/s

Ответ

v = 13,3 m/s

8.Работа и энергия

Ответ: v = 4,317 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 4,905·(2 − 0,3·3,5) = 4,66 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,95) = 4,317 m/s

Ответ

v = 4,317 m/s

9.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 5,714 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 4,5)/(2,5 + 4,5)·8 = −2,286 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 4,5)·8 = 5,714 m/s

Ответ

v′₂ = 5,714 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: J = 4,6 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,1·(19 + 27) = 4,6 N·s

Ответ

J = 4,6 N·s

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 58,86 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN

Ответ

F = 58,86 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 2,8 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·9 = 194,2 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 6,75/(2,5·9) = 2,8 m

Ответ

y_cp = 2,8 m

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 227,6 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(100/75)² = 2,667 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 2,667²)/1000 = −2,431 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 230 + (−2,431) = 227,6 kPa

Ответ

p₂ = 227,6 kPa

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 15,81 kPa

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,75·(200/75)² = 12,44 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,75² − 12,44²)/1000 = −75,9 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 180 + (−75,9) − 88,29 = 15,81 kPa

Ответ

p₂ = 15,81 kPa

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 28,31 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 240/28,01 = 8,568 mol

T = 5 + 273,15 = 278,1 K

Объём

V = nRT/P = 8,568·8,314·278,1/700 = 28,31 L

Ответ

V = 28,31 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 1,746 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Плотность

ρ = 100·44,01/(8,314·303,1) = 1,746 kg/m³

Ответ

ρ = 1,746 kg/m³

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: η_max = 67 %

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 600 + 273,15 = 873,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288,1/873,1 = 67 %

Ответ

η_max = 67 %

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ = 6,225 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 55 + 273,15 = 328,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

COP Карно и действительный COP

COP_max = 328,1/(328,1 − 263,1) = 5,048

COP = 0,35·5,048 = 1,767

Потребляемая мощность

Ẇ = Q̇_H/COP = 11/1,767 = 6,225 kW

Ответ

Ẇ = 6,225 kW

19.Волны, звук и оптика

Ответ: f₅ = 400 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 2L/n = 2·0,5/5 = 0,2 m

Частота

f = v/λ = 80/0,2 = 400 Hz

Ответ

f₅ = 400 Hz

20.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −20 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Фокусное расстояние

f = R/2 = 20 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/10

d_i = −20 cm

Ход лучей

мнимое изображение за зеркалом

Ответ

d_i = −20 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers