Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 90 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,1 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 5,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 90 km/ht_r = 1,1 sa = −5,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2 m/s² в течение 12 s, затем движется с постоянной скоростью 7 s и, наконец, тормозит с замедлением 3 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 12 st₂ = 7 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 3 kg и 2 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 3 kgm₂ = 2 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 20 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 33 m/s под углом 15° к горизонту с вершины обрыва высотой 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 33 m/sθ = 15°h = 20 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 1 kg висит на лёгкой нити длиной 1,5 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 30° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 1 kgL = 1,5 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = N

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 1500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 10 kgh = 4,5 mL = 3 mμ = 0,15k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 3 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 18 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 3 kgh = 18 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 1,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,6 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 25° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 1,5 kgL = 0,6 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 2 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите глубину y_cp центра давления под поверхностью.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода с расходом 24 L/s течёт по горизонтальной трубе, сужающейся с 150 mm до 100 mm. Давление в узком сечении равно 70 kPa. Пренебрегая потерями, найдите давление p₁ в широком сечении.

Q = 24 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 70 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.Неразрывность и БернуллиСложная

В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 150 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 30 mm, расположенное на 4,5 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите скорость струи v. Примите g = 9,81 m/s².

p_air = 150 kPa (избыточное)h = 4,5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 200 g газа (O₂) при 400 kPa и 95 °C? Считайте газ идеальным.

m = 200 gM = 32 g/molP = 400 kPaT = 95 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (Ar) переходит от 350 kPa, 5 L, 15 °C к 600 kPa и 140 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 350 kPaV₁ = 5 LT₁ = 15 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 140 °C

V₂ = L

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 325 °C и холодным при 30 °C. Найдите наибольший возможный термический КПД η_max.

T_H = 325 °CT_L = 30 °C

η_max = %

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловая машина Карно получает 40 kW теплоты от источника при 750 °C и отдаёт теплоту окружающей среде при 20 °C. Вся её работа приводит холодильную машину Карно, которая отводит теплоту из морозильной камеры при -20 °C и тоже отдаёт теплоту окружающей среде при 20 °C. Найдите тепловой поток Q̇_L, отводимый из морозильной камеры.

T_H = 750 °CT₀ = 20 °CT_L = -20 °CQ̇_H = 40 kW

Q̇_L = kW

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов имеет длину 0,6 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₂ для режима: гармоника номер 2.

v = 343 m/sn = 2L = 0,6 m

f₂ = Hz

20.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,52 и оболочка с n₂ = 1,49. Найдите наибольший угол θ_a к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n₁ = 1,52n₂ = 1,49n₀ = 1,00

θ_a = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 84,32 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 25·1,1 = 27,5 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·5,5) = 56,82 m

Итого

d = 27,5 + 56,82 = 84,32 m

Ответ

d = 84,32 m

2.Кинематика

Ответ: s = 408 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2·12 = 24 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·2·12² = 144 m

s₂ = 24·7 = 168 m

s₃ = 24²/(2·3) = 96 m

Полный путь

s = 144 + 168 + 96 = 408 m

Ответ

s = 408 m

3.Законы Ньютона

Ответ: T = 23,54 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (3 − 2)·9,81/(3 + 2) = 1,962 m/s²

Натяжение по лёгкому грузу

T − m₂·g = m₂·a → T = 2·(9,81 + 1,962) = 23,54 N

Ответ

T = 23,54 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 7,287 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 2,943)/7 = 7,287 m/s²

Ответ

a = 7,287 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 1,395 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 20° = 18,79 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 20° = 6,84 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·6,84/9,81 = 1,395 s

Ответ

t = 1,395 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 34,09 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 33·cos 15° = 31,88 m/s

v_y0 = 33·sin 15° = 8,541 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(8,541² + 2·9,81·20) = 21,57 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 21,57/31,88 → α = 34,09°

Ответ

α = 34,09°

7.Работа и энергия

Ответ: T = 12,44 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·1,5·(1 − cos 30°) = 3,943 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

T = mg + mv²/L = 9,81 + 1·3,943/1,5 = 12,44 N

Ответ

T = 12,44 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 12,44 N.

8.Работа и энергия

Ответ: x = 72,78 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 98,1·(4,5 − 0,15·3) = 397,3 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 397,3 → x = √(2·397,3/1500) = 0,7278 m = 72,78 cm

Ответ

x = 72,78 cm

9.Импульс и столкновения

Ответ: v = 283,8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,18) = 1,879 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 3)·1,879/0,02 = 283,8 m/s

Ответ

v = 283,8 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: v = 79,82 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,6·(1 − cos 25°) = 0,05622 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,05622) = 1,05 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 1,52·1,05/0,02 = 79,82 m/s

Ответ

v = 79,82 m/s

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 147,2 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·6 = 147,2 kN

Ответ

F = 147,2 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: y_cp = 3,889 m

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·5 = 183,9 kN

Центр давления

Давление растёт с глубиной, поэтому равнодействующая приложена ниже центра тяжести.

I_c = b·H³/12 = 2·2,5³/12 = 2,604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 2,604/(3,75·5) = 3,889 m

Ответ

y_cp = 3,889 m

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₁ = 73,75 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Скорости

v₁ = Q/A₁ = 0,024/0,01767 = 1,358 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,024/0,007854 = 3,056 m/s

Бернулли

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 70 + ½·1000·(3,056² − 1,358²)/1000 = 70 + 3,747 = 73,75 kPa

Ответ

p₁ = 73,75 kPa

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: v = 19,71 m/s

Уравнение Бернулли от поверхности до струи

v = √(2·(150000/1000 + 9,81·4,5)) = 19,71 m/s

Ответ

v = 19,71 m/s

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 47,82 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 200/32 = 6,25 mol

T = 95 + 273,15 = 368,1 K

Объём

V = nRT/P = 6,25·8,314·368,1/400 = 47,82 L

Ответ

V = 47,82 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 4,182 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 288,1 K, T₂ = 413,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(350/600)·(413,1/288,1) = 4,182 L

Ответ

V₂ = 4,182 L

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: η_max = 49,32 %

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 325 + 273,15 = 598,1 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303,1/598,1 = 49,32 %

Ответ

η_max = 49,32 %

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Q̇_L = 180,6 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 750 + 273,15 = 1023 K

T₀ = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = -20 + 273,15 = 253,1 K

Работа машины

η = 1 − 293,1/1023 = 0,7135

Ẇ = 0,7135·40 = 28,54 kW

Теплота, отводимая холодильником

COP_R = 253,1/(293,1 − 253,1) = 6,329

Q̇_L = 6,329·28,54 = 180,6 kW

Ответ

Q̇_L = 180,6 kW

19.Волны, звук и оптика

Ответ: f₂ = 571,7 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 2L/n = 2·0,6/2 = 0,6 m

Частота

f = v/λ = 343/0,6 = 571,7 Hz

Ответ

f₂ = 571,7 Hz

20.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_a = 17,49 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,49/1,52 = 0,9803 → θc = 78,6°

Числовая апертура

NA = √(1,52² − 1,49²) = 0,3005

Угол приёма

θ_a = arcsin(0,3005) = 17,49°

Ответ

θ_a = 17,49°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers