Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 120 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 120 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 11 m/s с края крыши на высоте 15 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 11 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 7 kg и 2,5 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a грузов.

m₁ = 7 kgm₂ = 2,5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4,5 kg на наклонной плоскости под углом 25° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 7 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 7 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 30° к горизонту, и он падает на расстоянии 130 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 30°R = 130 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 14 m/s под углом 25° к горизонту с вершины обрыва высотой 50 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v, с которой он ударяется о землю.

v₀ = 14 m/sθ = 25°h = 50 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1500 kg въезжает на подъём 2° с постоянной скоростью 36 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 500 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1500 kgθ = 2°F_r = 500 Nv = 36 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

8.Работа и энергияСложная

Тележку массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,6 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 1 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 2 kgh = 2,6 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

9.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 7 kg, движущийся горизонтально со скоростью 20 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 1 kg продолжает движение вперёд со скоростью 73 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 6 kg (положительна в исходном направлении).

M = 7 kgu = 20 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 73 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1900 kg, едущий на восток со скоростью 10 m/s, сталкивается с автомобилем массой 900 kg, едущим на север со скоростью 12 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 1900 kgv₁ = 10 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 12 m/s (N)

θ = °

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 3 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (масло), его верхний край на 4 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода вытекает из большого открытого резервуара через отверстие с острой кромкой диаметром 20 mm. Уровень воды поддерживается на 2 m выше отверстия, коэффициент расхода равен 0,6. Найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 2 mC_d = 0,6g = 9,81 m/s²

Q = L/s

14.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 200 mm до 50 mm и поднимается на 4 m. В сечении 1 давление 370 kPa, а скорость 0,5 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 50 mmp₁ = 370 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Резервуар объёмом 10 L содержит 310 g газа (He) при 70 °C. Считайте газ идеальным и найдите давление P.

m = 310 gM = 4,003 g/molV = 10 LT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (CH₄) переходит от 150 kPa, 10 L, 40 °C к 550 kPa и 60 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 150 kPaV₁ = 10 LT₁ = 40 °CP₂ = 550 kPaT₂ = 60 °C

V₂ = L

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 625 °C и холодным при 5 °C. Она получает 1900 kJ теплоты. Найдите наибольшую работу W_max, которую она могла бы совершить.

T_H = 625 °CT_L = 5 °CQ_H = 1900 kJ

W_max = kJ

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловой насос подаёт 7,5 kW теплоты в систему отопления при 55 °C, забирая теплоту от источника при 7 °C. Его действительный COP составляет 45% от COP Карно между этими температурами. Найдите потребляемую им электрическую мощность Ẇ.

T_H = 55 °CT_L = 7 °Cη_II = 45%Q̇_H = 7,5 kW

Ẇ = kW

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Струна, закреплённая с обоих концов должна иметь следующий режим на частоте 500 Hz: гармоника номер 2; волны бегут по ней со скоростью 300 m/s. Найдите её длину L.

v = 300 m/sn = 2f₂ = 500 Hz

L = m

20.Волны, звук и оптикаСложная

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,48 и оболочка с n₂ = 1,46. Найдите наибольший угол θ_a к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n₁ = 1,48n₂ = 1,46n₀ = 1,00

θ_a = °

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 5,128 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33,33/6,5 = 5,128 s

Ответ

t = 5,128 s

2.Кинематика

Ответ: t = 3,199 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−15 = 11·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 11·t − 15 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (11 + √(11² + 2·9,81·15))/9,81 = 3,199 s

Ответ

t = 3,199 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,647 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (7 − 2,5)·9,81/(7 + 2,5) = 4,647 m/s²

Ответ

a = 4,647 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,827 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 68,67 N

m₁·g·sin θ = 18,66 N

μ·m₁·g·cos θ = 6,001 N

Ускорение системы

a = (68,67 − 18,66 − 6,001)/11,5 = 3,827 m/s²

Ответ

a = 3,827 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 38,37 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·130/sin 60°) = 38,37 m/s

Ответ

v₀ = 38,37 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v = 34,31 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 14·cos 25° = 12,69 m/s

v_y0 = 14·sin 25° = 5,917 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(5,917² + 2·9,81·50) = 31,87 m/s

Скорость при ударе

v = √(12,69² + 31,87²) = 34,31 m/s

Ответ

v = 34,31 m/s

Проверка по энергии: v² = v₀² + 2gh.

7.Работа и энергия

Ответ: P = 10,14 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1500·9,81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 2° = 513,5 N

F = 513,5 + 500 = 1014 N

Мощность

v = 36/3,6 = 10 m/s

P = F·v = 1014·10 = 10135 W = 10,14 kW

Ответ

P = 10,14 kW

8.Работа и энергия

Ответ: v = 3,431 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(2,6 − 2) = 11,77 m²/s²

v = 3,431 m/s

Ответ

v = 3,431 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

9.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 11,17 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Импульс до удара

p = M·u = 7·20 = 140 kg·m/s

Импульс после удара

140 = 1·73 + 6·v′₂

v′₂ = (140 − 73)/6 = 11,17 m/s

Ответ

v′₂ = 11,17 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 29,61 °

Составляющие импульса

p_x = 1900·10 = 19000 kg·m/s

p_y = 900·12 = 10800 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 0,5684 → θ = 29,61°

Ответ

θ = 29,61°

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 104,2 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·2,5 = 104,2 kN

Ответ

F = 104,2 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 170 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,25·3,75 = 170 kN

Ответ

F = 170 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 1,181 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Идеальная скорость струи

√(2gh) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Действительный расход

Коэффициент расхода учитывает сжатие струи и трение у кромки.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,6·0,0003142·6,264 = 0,001181 m³/s = 1,181 L/s

Ответ

Q = 1,181 L/s

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 298,9 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(200/50)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 8²)/1000 = −31,88 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 370 + (−31,88) − 39,24 = 298,9 kPa

Ответ

p₂ = 298,9 kPa

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: P = 22094 kPa

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = m/M = 310/4,003 = 77,44 mol

T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Давление

P = nRT/V = 77,44·8,314·343,1/0,01 = 22094 kPa

Ответ

P = 22094 kPa

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 2,901 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 313,1 K, T₂ = 333,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(150/550)·(333,1/313,1) = 2,901 L

Ответ

V₂ = 2,901 L

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: W_max = 1312 kJ

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 625 + 273,15 = 898,1 K

T_L = 5 + 273,15 = 278,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278,1/898,1 = 69,03 %

Наибольшая работа

W_max = η_max·Q_H = 0,6903·1900 = 1312 kJ

Ответ

W_max = 1312 kJ

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Ẇ = 2,438 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 55 + 273,15 = 328,1 K

T_L = 7 + 273,15 = 280,1 K

COP Карно и действительный COP

COP_max = 328,1/(328,1 − 280,1) = 6,836

COP = 0,45·6,836 = 3,076

Потребляемая мощность

Ẇ = Q̇_H/COP = 7,5/3,076 = 2,438 kW

Ответ

Ẇ = 2,438 kW

19.Волны, звук и оптика

Ответ: L = 0,6 m

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 300/500 = 0,6 m

Длина

L = nλ/2 = 2·0,6/2 = 0,6 m

Ответ

L = 0,6 m

20.Волны, звук и оптика

Ответ: θ_a = 14,03 °

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,46/1,48 = 0,9865 → θc = 80,57°

Числовая апертура

NA = √(1,48² − 1,46²) = 0,2425

Угол приёма

θ_a = arcsin(0,2425) = 14,03°

Ответ

θ_a = 14,03°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers