Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 15 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 3 m/s². Через сколько времени полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите t.

v_car = 15 m/sa_police = 3 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 10 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 10 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 7 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 7 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 15° со скоростью 7 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 7 m/sθ = 15°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 24 m/s под углом 25° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 13 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 24 m/sθ = 25°x = 13 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с вершины скалы высотой 5 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 12 m/sθ = 30°h = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 2000 kg въезжает на подъём 6° с постоянной скоростью 54 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 750 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 2000 kgθ = 6°F_r = 750 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 10 kgh = 1 mL = 1 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 12 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,35 kg ударяется о стену со скоростью 15 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 11 m/s. Контакт длится 5 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,35 kgv_in = 15 m/sv_out = 11 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 0,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 0,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 75 mm до 50 mm. В широкой части давление 300 kPa, а скорость 0,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 300 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.Неразрывность и БернуллиСложная

По горизонтальному расходомеру Вентури (вход 250 mm, горловина 125 mm) течёт вода. Ртутный U-образный манометр, подключённый между входом и горловиной, показывает разность уровней 100 mm. Коэффициент расхода равен 0,95. Найдите расход Q. Примите ρ = 1000 kg/m³ для воды, 13 600 kg/m³ для ртути и g = 9,81 m/s².

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmΔh = 100 mmC_d = 0,95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 330 g газа (N₂) при 650 kPa и 20 °C? Считайте газ идеальным.

m = 330 gM = 28,01 g/molP = 650 kPaT = 20 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (N₂) переходит от 200 kPa, 2 L, 15 °C к 700 kPa и 120 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 200 kPaV₁ = 2 LT₁ = 15 °CP₂ = 700 kPaT₂ = 120 °C

V₂ = L

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 525 °C и холодным при 35 °C. Она получает 4300 kJ теплоты. Найдите наибольшую работу W_max, которую она могла бы совершить.

T_H = 525 °CT_L = 35 °CQ_H = 4300 kJ

W_max = kJ

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловая машина за цикл получает 600 kJ теплоты от резервуара при 700 °C, совершает 252 kJ работы, а остаток отдаёт резервуару при 15 °C. Найдите суммарную генерацию энтропии S_gen за цикл.

T_H = 700 °CT_L = 15 °CQ_H = 600 kJW = 252 kJ

S_gen = kJ/K

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Труба, открытая с обоих концов имеет длину 0,5 m. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите частоту f₅ для режима: гармоника номер 5.

v = 343 m/sn = 5L = 0,5 m

f₅ = Hz

20.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 8 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 20 cm. Найдите расстояние до изображения d_i: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

d_o = 8 cmR = 20 cm

d_i = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 10 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·15/3 = 10 s

Ответ

t = 10 s

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 30 m/s.

2.Кинематика

Ответ: h_max = 25,1 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9,81) = 5,097 m

Высота над землёй

h_max = 20 + 5,097 = 25,1 m

Ответ

h_max = 25,1 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,179 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 40° − 0,15·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1149) = 5,179 m/s²

Ответ

a = 5,179 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 6,186 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 15° + 0,15·cos 15°) = 3,96 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 7²/(2·3,96) = 6,186 m

Ответ

d = 6,186 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 4,31 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 24·cos 25° = 21,75 m/s

t = x/v_x = 13/21,75 = 0,5977 s

Высота в этот момент

y = 10,14·0,5977 − ½·9,81·0,5977² = 4,31 m

Ответ

y = 4,31 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 18,62 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 30° = 10,39 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 30° = 6 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 5 + 6·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6 + √(36 + 98,1))/9,81 = 1,792 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 10,39·1,792 = 18,62 m

Ответ

x = 18,62 m

7.Работа и энергия

Ответ: P = 42,01 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 2000·9,81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 6° = 2051 N

F = 2051 + 750 = 2801 N

Мощность

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 2801·15 = 42013 W = 42,01 kW

Ответ

P = 42,01 kW

8.Работа и энергия

Ответ: x = 18,53 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 98,1·(1 − 0,3·1) = 68,67 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 68,67 → x = √(2·68,67/4000) = 0,1853 m = 18,53 cm

Ответ

x = 18,53 cm

9.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −1,091 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 3)/(2,5 + 3)·12 = −1,091 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 3)·12 = 10,91 m/s

Ответ

v′₁ = −1,091 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

10.Импульс и столкновения

Ответ: J = 9,1 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,35·(11 + 15) = 9,1 N·s

Ответ

J = 9,1 N·s

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 110,4 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·4,5 = 110,4 kN

Ответ

F = 110,4 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 37,08 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,5·2 = 37,08 kN

Ответ

F = 37,08 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 298,9 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(75/50)² = 1,688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 1,688²)/1000 = −1,143 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 300 + (−1,143) = 298,9 kPa

Ответ

p₂ = 298,9 kPa

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 59,87 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Разность давлений по манометру

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,1 = 12361 Pa

Скорость в горловине

Уравнения неразрывности и Бернулли вместе дают идеальную скорость в горловине.

β = 125/250 = 0,5

v₂ = √(2·12361/(1000·(1 − 0,0625))) = 5,135 m/s

Действительный расход

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,95·0,01227·5,135 = 0,05987 m³/s = 59,87 L/s

Ответ

Q = 59,87 L/s

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 44,18 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 330/28,01 = 11,78 mol

T = 20 + 273,15 = 293,1 K

Объём

V = nRT/P = 11,78·8,314·293,1/650 = 44,18 L

Ответ

V = 44,18 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 0,7797 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 288,1 K, T₂ = 393,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(200/700)·(393,1/288,1) = 0,7797 L

Ответ

V₂ = 0,7797 L

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: W_max = 2640 kJ

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 525 + 273,15 = 798,1 K

T_L = 35 + 273,15 = 308,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308,1/798,1 = 61,39 %

Наибольшая работа

W_max = η_max·Q_H = 0,6139·4300 = 2640 kJ

Ответ

W_max = 2640 kJ

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: S_gen = 0,5911 kJ/K

Генерация энтропии: за полный цикл энтропия рабочего тела в итоге не меняется. Горячий резервуар теряет Q_H/T_H, а холодный получает Q_L/T_L. Их сумма — это генерируемая энтропия, равная нулю для обратимого цикла и положительная для любого реального.

Отводимая теплота

Q_L = Q_H − W = 600 − 252 = 348 kJ

Абсолютные температуры

T_H = 700 + 273,15 = 973,1 K

T_L = 15 + 273,15 = 288,1 K

Изменения энтропии резервуаров

ΔS_H = −600/973,1 = −0,6166 kJ/K

ΔS_L = 348/288,1 = 1,208 kJ/K

S_gen = 1,208 − 0,6166 = 0,5911 kJ/K

Ответ

S_gen = 0,5911 kJ/K

S_gen > 0, поэтому машина возможна, но необратима.

19.Волны, звук и оптика

Ответ: f₅ = 1715 Hz

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, f_n = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны этого режима

λ = 2L/n = 2·0,5/5 = 0,2 m

Частота

f = v/λ = 343/0,2 = 1715 Hz

Ответ

f₅ = 1715 Hz

20.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −40 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Фокусное расстояние

f = R/2 = 10 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/8

d_i = −40 cm

Ход лучей

мнимое изображение за зеркалом

Ответ

d_i = −40 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers