Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 50 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 7 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 7 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 20 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 20 kgθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3,5 kg на наклонной плоскости под углом 25° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 9,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 9,5 kgθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 24 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 50° к горизонту с вершины скалы высотой 25 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 22 m/sθ = 50°h = 25 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2,5 kg скользит 19 m по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,4. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2,5 kgθ = 35°μ = 0,4d = 19 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 10 kgh = 4,5 mL = 3,5 mμ = 0,1k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4 kg, движущаяся со скоростью 3 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 4 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,25 kg ударяется о стену со скоростью 16 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 19 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,25 kgv_in = 16 m/sv_out = 19 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (морская вода), его верхний край на 1,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт через горизонтальный расходомер Вентури с входным диаметром 200 mm и диаметром горловины 150 mm. Давление на входе на 25 kPa выше, чем в горловине. Пренебрегая потерями, найдите расход Q.

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 25 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.Неразрывность и БернуллиСложная

Сопло фонтана направлено вертикально вверх. Непосредственно под соплом подводящая труба имеет диаметр 100 mm и избыточное давление 40 kPa. Выходной диаметр сопла 40 mm, разностью высот по длине сопла можно пренебречь. Пренебрегая потерями и сопротивлением воздуха, найдите высоту H, на которую струя поднимается над соплом. Примите g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 40 kPa (избыточное)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Резервуар объёмом 20 L содержит 100 g газа (N₂) при 45 °C. Считайте газ идеальным и найдите давление P.

m = 100 gM = 28,01 g/molV = 20 LT = 45 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Постоянное количество газа (N₂) переходит от 350 kPa, 10 L, 40 °C к 100 kPa и 170 °C. Найдите новый объём V₂.

P₁ = 350 kPaV₁ = 10 LT₁ = 40 °CP₂ = 100 kPaT₂ = 170 °C

V₂ = L

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Тепловая машина работает между горячим резервуаром при 500 °C и холодным при 20 °C. Она получает 2900 kJ теплоты. Найдите наибольшую работу W_max, которую она могла бы совершить.

T_H = 500 °CT_L = 20 °CQ_H = 2900 kJ

W_max = kJ

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Холодильник поддерживает в холодной камере -25 °C на кухне при 25 °C, отводя из камеры теплоту 3,5 kW. Найдите наибольший возможный холодильный коэффициент COP_max.

T_H = 25 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 3,5 kW

COP_max =

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет высотой 4 cm находится в 4 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 10 cm. Найдите высоту изображения h_i (отрицательную для перевёрнутого изображения).

h_o = 4 cmd_o = 4 cmf = 10 cm

h_i = cm

20.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 15 cm перед выпуклым зеркалом с радиусом кривизны 30 cm. Найдите расстояние до изображения d_i: положительное для изображения перед зеркалом (действительного) и отрицательное для изображения за ним (мнимого).

d_o = 15 cmR = 30 cm

d_i = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 1,852 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13,89/7,5 = 1,852 s

Ответ

t = 1,852 s

2.Кинематика

Ответ: t = 3,288 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−30 = 7·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 7·t − 30 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (7 + √(7² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,288 s

Ответ

t = 3,288 s

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 160,8 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 112,5 + 48,22 = 160,8 N

Ответ

F = 160,8 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,574 m/s²

Силы вдоль нити

m₂·g = 93,2 N

m₁·g·sin θ = 14,51 N

μ·m₁·g·cos θ = 6,224 N

Ускорение системы

a = (93,2 − 14,51 − 6,224)/13 = 5,574 m/s²

Ответ

a = 5,574 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 7,339 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 30° = 20,78 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 30° = 12 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 12²/(2·9,81) = 7,339 m

Ответ

H = 7,339 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 64,41 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 50° = 14,14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 50° = 16,85 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 25 + 16,85·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16,85 + √(284 + 490,5))/9,81 = 4,555 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 14,14·4,555 = 64,41 m

Ответ

x = 64,41 m

7.Работа и энергия

Ответ: W_f = 152,7 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 24,53·0,8192 = 20,09 N

F = μN = 0,4·20,09 = 8,036 N

Работа против трения

W_f = F·d = 8,036·19 = 152,7 J

Ответ

W_f = 152,7 J

8.Работа и энергия

Ответ: x = 127,6 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 98,1·(4,5 − 0,1·3,5) = 407,1 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 407,1 → x = √(2·407,1/500) = 1,276 m = 127,6 cm

Ответ

x = 127,6 cm

9.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 1,364 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4 − 1,5)/(4 + 1,5)·3 = 1,364 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1,5)·3 = 4,364 m/s

Ответ

v′₁ = 1,364 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 175 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,25·(19 + 16) = 8,75 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 8,75/0,05 = 175 N

Ответ

F_avg = 175 N

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 71,74 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·2,25 = 71,74 kN

Ответ

F = 71,74 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 135,7 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3·4,5 = 135,7 kN

Ответ

F = 135,7 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: Q = 151,1 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Неразрывность

v₁ = v₂·(150/200)² = 0,5625·v₂

Уравнение Бернулли между входом и горловиной

Труба горизонтальна, поэтому меняются только давление и скорость.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·25000/(1000·(1 − 0,3164))) = 8,552 m/s

v₁ = 4,811 m/s

Расход

Q = A₂·v₂ = 0,01767·8,552 = 0,1511 m³/s = 151,1 L/s

Ответ

Q = 151,1 L/s

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: H = 4,185 m

Скорость на выходе

β = 40/100 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·40000/(1000·0,9744)) = 9,061 m/s

Высота струи

Уравнение Бернулли вдоль струи: в верхней точке скорость равна нулю, а давление снова атмосферное.

H = v₂²/(2g) = 9,061²/(2·9,81) = 4,185 m

Ответ

H = 4,185 m

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: P = 472,2 kPa

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = m/M = 100/28,01 = 3,57 mol

T = 45 + 273,15 = 318,1 K

Давление

P = nRT/V = 3,57·8,314·318,1/0,02 = 472,2 kPa

Ответ

P = 472,2 kPa

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V₂ = 49,53 L

Объединённый газовый закон: для постоянного количества идеального газа P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Абсолютные температуры

T₁ = 313,1 K, T₂ = 443,1 K

Объединённый газовый закон

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(350/100)·(443,1/313,1) = 49,53 L

Ответ

V₂ = 49,53 L

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: W_max = 1800 kJ

Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами T_H и T_L не может превзойти обратимый цикл (Карно): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) и COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Энергия всегда сохраняется: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 500 + 273,15 = 773,1 K

T_L = 20 + 273,15 = 293,1 K

КПД Карно

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293,1/773,1 = 62,08 %

Наибольшая работа

W_max = η_max·Q_H = 0,6208·2900 = 1800 kJ

Ответ

W_max = 1800 kJ

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: COP_max = 4,963

Абсолютные температуры

T_H = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = -25 + 273,15 = 248,1 K

Наилучший возможный COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248,1/(298,1 − 248,1) = 4,963

Ответ

COP_max = 4,963

19.Волны, звук и оптика

Ответ: h_i = 6,667 cm

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/4

d_i = −6,667 cm

Увеличение и высота

m = −(−6,667)/4 = 1,667

h_i = 1,667·4 = 6,667 cm

Ответ

h_i = 6,667 cm

20.Волны, звук и оптика

Ответ: d_i = −7,5 cm

Фокусное расстояние

f = −R/2 = −15 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−15) − 1/15

d_i = −7,5 cm

Ход лучей

мнимое изображение за зеркалом

Ответ

d_i = −7,5 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers