Физика для инженеров: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Гидростатическое давление

Давление на глубине: p = ρgh
Сила давления на вертикальную стенку: F = ρg·h_c·A
Центр давления: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямоугольник: I_c = bH³/12

Неразрывность и Бернулли

Неразрывность: A₁v₁ = A₂v₂
Бернулли: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Расход: Q = A·v
Площадь круга: A = πd²/4

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа: pV = nRT
Газовая постоянная: R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Моли: n = m/M
Температура: T[K] = T[°C] + 273,15

Тепловые машины и холодильники

КПД: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
КПД Карно: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP холодильника: COP_R = Q_C/W
COP теплового насоса: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Энергетический баланс: Q_H = W + Q_C

Волны, звук и оптика

Скорость волны: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник: I = P/(4πr²)
Стоячие волны: струна или труба, открытая с обоих концов, f_n = n·v/(2L); закрытая труба f_n = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показатель преломления: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеллиуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критический угол: sin θ_c = n₂/n₁
Оптическое волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Линзы и зеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Двойная щель: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Решётка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одиночная щель: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 260 km/h, а длина полосы 1400 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 260 km/hs = 1400 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 17 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 17 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 25 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 25° к горизонту с силой 100 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 25 kgF = 100 Nθ = 25°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 20° со скоростью 6,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 6,5 m/sθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 34 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 20 m/s под углом 35° к горизонту с вершины обрыва высотой 30 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 20 m/sθ = 35°h = 30 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 0,5 kg скользит 17 m по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,3. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 0,5 kgθ = 35°μ = 0,3d = 17 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

8.Работа и энергияСложная

Брусок массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4,5 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 0,5 kgh = 1,5 mL = 4,5 mμ = 0,15k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

9.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3,5 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,45 kg ударяется о стену со скоростью 13 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 6 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,45 kgv_in = 13 m/sv_out = 6 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.Гидростатическое давлениеСредняя

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 3 m находится в стенке резервуара с жидкостью (вода), его верхний край на 1 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

12.Гидростатическое давлениеСложная

Вертикальный прямоугольный затвор шириной 1,5 m находится в стенке резервуара с жидкостью (глицерин), его верхний край на 2,5 m ниже поверхности. Найдите равнодействующую силу гидростатического давления F на затвор.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

13.Неразрывность и БернуллиСредняя

Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 75 mm до 40 mm. В широкой части давление 210 kPa, а скорость 3 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в узкой части.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 210 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.Неразрывность и БернуллиСложная

Вода поднимается по трубе, которая сужается с 75 mm до 40 mm и поднимается на 5 m. В сечении 1 давление 240 kPa, а скорость 2,75 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p₂ в сечении 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 240 kPav₁ = 2,75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.Уравнение состояния идеального газаСредняя

Какой объём V занимает 150 g газа (He) при 400 kPa и 15 °C? Считайте газ идеальным.

m = 150 gM = 4,003 g/molP = 400 kPaT = 15 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

16.Уравнение состояния идеального газаСложная

Найдите плотность ρ газа (Ar) при 950 kPa и 200 °C, считая его идеальным.

M = 39,95 g/molP = 950 kPaT = 200 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.Тепловые машины и холодильникиСредняя

Обратимый холодильник поддерживает в холодильной камере 0 °C, отводя 4,5 kW теплоты, и отдаёт теплоту окружающей среде при 35 °C. Найдите тепловой поток Q̇_H, который он отдаёт.

T_L = 0 °CT_H = 35 °CQ̇_L = 4,5 kW

Q̇_H = kW

18.Тепловые машины и холодильникиСложная

Тепловая машина за цикл получает 3000 kJ теплоты от резервуара при 800 °C, совершает 1500 kJ работы, а остаток отдаёт резервуару при 30 °C. Найдите суммарную генерацию энтропии S_gen за цикл.

T_H = 800 °CT_L = 30 °CQ_H = 3000 kJW = 1500 kJ

S_gen = kJ/K

19.Волны, звук и оптикаСредняя

Предмет находится в 15 cm перед тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием 30 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 15 cmf = 30 cm

m =

20.Волны, звук и оптикаСложная

Предмет находится в 25 cm перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны 10 cm. Найдите увеличение m (отрицательное для перевёрнутого изображения).

d_o = 25 cmR = 10 cm

m =

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 1,863 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 260/3,6 = 72,22 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 72,22²/(2·1400) = 1,863 m/s²

Ответ

a = 1,863 m/s²

2.Кинематика

Ответ: h_max = 54,73 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9,81) = 14,73 m

Высота над землёй

h_max = 40 + 14,73 = 54,73 m

Ответ

h_max = 54,73 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,3774 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 100·sin 25° = 203 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 90,63 − 81,2

a = 9,436/25 = 0,3774 m/s²

Ответ

a = 0,3774 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 4,063 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 20° + 0,2·cos 20°) = 5,199 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 6,5²/(2·5,199) = 4,063 m

Ответ

d = 4,063 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 75,75 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 20° = 31,95 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 20° = 11,63 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·11,63/9,81 = 2,371 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 31,95·2,371 = 75,75 m

Ответ

x = 75,75 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 36,71 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 20·sin 35° = 11,47 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 11,47²/(2·9,81) = 6,707 m

Высота над землёй

H = 30 + 6,707 = 36,71 m

Ответ

H = 36,71 m

7.Работа и энергия

Ответ: W_f = 20,49 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 4,905·0,8192 = 4,018 N

F = μN = 0,3·4,018 = 1,205 N

Работа против трения

W_f = F·d = 1,205·17 = 20,49 J

Ответ

W_f = 20,49 J

8.Работа и энергия

Ответ: x = 12,72 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 4,905·(1,5 − 0,15·4,5) = 4,047 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 4,047 → x = √(2·4,047/500) = 0,1272 m = 12,72 cm

Ответ

x = 12,72 cm

9.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 0,3333 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3,5 − 2,5)/(3,5 + 2,5)·2 = 0,3333 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 2,5)·2 = 2,333 m/s

Ответ

v′₁ = 0,3333 m/s

10.Импульс и столкновения

Ответ: J = 8,55 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,45·(6 + 13) = 8,55 N·s

Ответ

J = 8,55 N·s

11.Гидростатическое давление

Ответ: F = 44,15 kN

Сила давления на плоскую поверхность: F = ρ·g·y_c·A. Она приложена в центре давления, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), который всегда лежит ниже центра тяжести.

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·3 = 44,15 kN

Ответ

F = 44,15 kN

12.Гидростатическое давление

Ответ: F = 55,62 kN

Глубина центра тяжести и площадь

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Равнодействующая сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·1,5 = 55,62 kN

Ответ

F = 55,62 kN

13.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 158,9 kPa

Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/40)² = 10,55 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 10,55²)/1000 = −51,12 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 210 + (−51,12) = 158,9 kPa

Ответ

p₂ = 158,9 kPa

14.Неразрывность и Бернулли

Ответ: p₂ = 148 kPa

Неразрывность и Бернулли

Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(75/40)² = 9,668 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 9,668²)/1000 = −42,95 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 240 + (−42,95) − 49,05 = 148 kPa

Ответ

p₂ = 148 kPa

15.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: V = 224,4 L

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = 150/4,003 = 37,47 mol

T = 15 + 273,15 = 288,1 K

Объём

V = nRT/P = 37,47·8,314·288,1/400 = 224,4 L

Ответ

V = 224,4 L

16.Уравнение состояния идеального газа

Ответ: ρ = 9,648 kg/m³

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 200 + 273,15 = 473,1 K

Плотность

ρ = 950·39,95/(8,314·473,1) = 9,648 kg/m³

Ответ

ρ = 9,648 kg/m³

17.Тепловые машины и холодильники

Ответ: Q̇_H = 5,077 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Абсолютные температуры

T_H = 35 + 273,15 = 308,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

Отношение теплот для обратимого цикла

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 4,5·308,1/273,1 = 5,077 kW

Ответ

Q̇_H = 5,077 kW

Потребляемая мощность: Ẇ = 0,5766 kW.

18.Тепловые машины и холодильники

Ответ: S_gen = 2,153 kJ/K

Генерация энтропии: за полный цикл энтропия рабочего тела в итоге не меняется. Горячий резервуар теряет Q_H/T_H, а холодный получает Q_L/T_L. Их сумма — это генерируемая энтропия, равная нулю для обратимого цикла и положительная для любого реального.

Отводимая теплота

Q_L = Q_H − W = 3000 − 1500 = 1500 kJ

Абсолютные температуры

T_H = 800 + 273,15 = 1073 K

T_L = 30 + 273,15 = 303,1 K

Изменения энтропии резервуаров

ΔS_H = −3000/1073 = −2,796 kJ/K

ΔS_L = 1500/303,1 = 4,948 kJ/K

S_gen = 4,948 − 2,796 = 2,153 kJ/K

Ответ

S_gen = 2,153 kJ/K

S_gen > 0, поэтому машина возможна, но необратима.

19.Волны, звук и оптика

Ответ: m = 2

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θ_c = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/d_o + 1/d_i с увеличением m = −d_i/d_o. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; d_i > 0 для действительного изображения, d_i < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Формула тонкой линзы

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/15

d_i = −30 cm

Увеличение

m = −d_i/d_o = −(−30)/15 = 2

Ответ

m = 2

20.Волны, звук и оптика

Ответ: m = −0,25

Фокусное расстояние

f = R/2 = 5 cm

Уравнение зеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/25

d_i = 6,25 cm

Увеличение

m = −6,25/25 = −0,25

Ответ

m = −0,25

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers