Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Понижающий преобразователь преобразует 12 V в 3 V при нагрузке 4 Ω. Он переключается с частотой 25 kHz при L = 330 µH. Найдите пиковый ток катушки Imax.
Vin = 12 VVo = 3 Vf = 25 kHzL = 330 µHR = 4 Ω
Imax = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Идеальный повышающий преобразователь преобразует 48 V в 80 V при нагрузке 50 Ω и частоте 40 kHz. Найдите наименьшую индуктивность Lcrit для режима непрерывного тока.
Vin = 48 VVo = 80 Vf = 40 kHzR = 50 Ω
Lcrit = µH
3.Двигатели постоянного токаСредняя
Двигатель постоянного тока (k = 0,4 N·m/A, Ra = 0,4 Ω) работает от 48 V и приводит нагрузку с моментом 2,4 N·m. Найдите его скорость n в rpm.
V = 48 Vk = 0,4 N·m/ARa = 0,4 ΩT = 2,4 N·m
n = rpm
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока на 24 V имеет сопротивление якоря 0,5 Ω. Найдите последовательное пусковое сопротивление Rst, ограничивающее пусковой ток до 25 A.
V = 24 VRa = 0,5 ΩImax = 25 A
Rst = Ω
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 11 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 11 kWpf = 0,7V = 230 V
Q = kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазный трансформатор 50 kVA питает нагрузку 14 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?
Smax = 50 kVAP1 = 14 kWpf1 = 0,65
ΔP = kW
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 20 A от сети с линейным напряжением 415 V. Коэффициент мощности 0,88 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 415 VIL = 20 Acos φ = 0,88
P = kW
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 80 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 80 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,98VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: Imax = 0,8864 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 3/12 = 0,25
Средний ток и пульсации тока
Io = 3/4 = 0,75 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 9·0,25/(330·10⁻⁶·25·10³) = 0,2727 A
Пиковый ток
Imax = 0,75 + 0,2727/2 = 0,8864 A
Ответ
Imax = 0,8864 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: Lcrit = 90 µH
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 1 − 48/80 = 0,4
Граничное условие
Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.
Lcrit = D(1 − D)²·R/(2f)
Критическая индуктивность
Lcrit = 0,4(1 − 0,4)²·50/(240·10³) = 90 µH
Ответ
Lcrit = 90 µH
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: n = 1089 rpm
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Ток якоря
Ia = T/k = 2,4/0,4 = 6 A
Противо-ЭДС и скорость
E = 48 − 6·0,4 = 45,6 V
ω = E/k = 114 rad/s → n = 1089 rpm
Ответ
n = 1089 rpm
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: Rst = 0,46 Ω
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Полное сопротивление
Ra + Rst = 24/25 = 0,96 Ω
Пусковой резистор
Rst = 0,96 − 0,5 = 0,46 Ω
Ответ
Rst = 0,46 Ω
Резистор выводят ступенями по мере разгона двигателя и роста противо-ЭДС.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 11,22 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 11·1,02 = 11,22 kvar
Ответ
Q = 11,22 kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: ΔP = 33,25 kW
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность существующей нагрузки
Q1 = 14·tan(arccos 0,65) = 16,37 kvar
Наибольшая суммарная активная мощность
При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.
P = √(Smax² − Q1²) = √(50² − 16,37²) = 47,25 kW
Дополнительная активная мощность
ΔP = 47,25 − 14 = 33,25 kW
Ответ
ΔP = 33,25 kW
7.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 12,65 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·415·20 = 14,38 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 14,38·0,88 = 12,65 kW
Ответ
P = 12,65 kW
8.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 97,51 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 80·tan(acos 0,8) = 80·0,75 = 60 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,98) = 80·0,2031 = 16,24 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 43,76 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.