Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный инвертирующий понижающе-повышающий преобразователь преобразует 9 V в −6 V при 200 kHz и L = 10 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔIL.
Vin = 9 VVo = −6 Vf = 200 kHzL = 10 µH
ΔIL = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Идеальный повышающий преобразователь преобразует 12 V в 24 V при нагрузке 8 Ω и частоте 100 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 10 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔVo в mV.
Vin = 12 VVo = 24 Vf = 100 kHzC = 10 µFR = 8 Ω
ΔVo = mV
3.Двигатели постоянного токаСредняя
Двигатель постоянного тока потребляет 25 A от источника 48 V. Сопротивление якоря равно 0,25 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 63 W. Найдите его КПД η.
V = 48 VIa = 25 ARa = 0,25 ΩProt = 63 W
η = %
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока независимого возбуждения на 220 V (Ra = 0,5 Ω) вращается со скоростью 1800 rpm при токе якоря 20 A. Нагрузка изменяется, и ток становится равным 5 A при неизменном поле. Найдите новую скорость n2.
V = 220 VRa = 0,5 Ωn1 = 1800 rpmIa1 = 20 AIa2 = 5 A
n2 = rpm
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 38 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 38 kWpf = 0,75V = 400 V
Q = kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазный трансформатор 100 kVA питает нагрузку 64 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?
Smax = 100 kVAP1 = 64 kWpf1 = 0,85
ΔP = kW
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 9 + j12 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 415 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 415 VZ = 9 + j12 Ω на фазу
P = kW
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 250 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 250 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔIL = 1,8 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 6/(9 + 6) = 0,4
Напряжение на катушке во время включения
Пока S включён, катушка индуктивности находится непосредственно под напряжением Vin.
VL = 9 V
Пульсации тока
ΔIL = VL·D/(L·f) = 9·0,4/(10·10⁻⁶·200·10³) = 1,8 A
Ответ
ΔIL = 1,8 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔVo = 1500 mV
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 1 − 12/24 = 0,5
Ток нагрузки
Io = 24/8 = 3 A
Пульсации выходного напряжения
ΔVo = 3·0,5/(100·10³·10·10⁻⁶) = 1500 mV
Ответ
ΔVo = 1500 mV
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: η = 81,73 %
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Мощности
Pin = 48·25 = 1200 W
Pdev = 41,75·25 = 1044 W
Pout = 1044 − 63 = 980,8 W
КПД
η = 980,8/1200·100 = 81,73 %
Ответ
η = 81,73 %
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: n2 = 1864 rpm
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Противо-ЭДС до и после
E1 = 220 − 20·0,5 = 210 V
E2 = 220 − 5·0,5 = 217,5 V
Новая скорость
n2 = 1800·217,5/210 = 1864 rpm
Ответ
n2 = 1864 rpm
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 33,51 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 38·0,8819 = 33,51 kvar
Ответ
Q = 33,51 kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: ΔP = 27,8 kW
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность существующей нагрузки
Q1 = 64·tan(arccos 0,85) = 39,66 kvar
Наибольшая суммарная активная мощность
При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.
P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 39,66²) = 91,8 kW
Дополнительная активная мощность
ΔP = 91,8 − 64 = 27,8 kW
Ответ
ΔP = 27,8 kW
7.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 20,67 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = VL = 415 V
Фазный ток
|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
Iph = 415/15 = 27,67 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·27,67²·9 = 20,67 kW
Ответ
P = 20,67 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,6, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
8.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 169,7 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.