Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Понижающий преобразователь преобразует 9 V в 3,6 V при нагрузке 25 Ω. Он переключается с частотой 250 kHz при L = 47 µH. Найдите пиковый ток катушки Imax.
Vin = 9 VVo = 3,6 Vf = 250 kHzL = 47 µHR = 25 Ω
Imax = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Понижающий преобразователь преобразует 9 V в 5,4 V при нагрузке 10 Ω и частоте 40 kHz, при L = 150 µH и C = 470 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔVo в mV.
Двигатель постоянного тока с k = 0,8 V·s/rad работает от 220 V. Пренебрегая всеми потерями на холостом ходу, найдите его скорость холостого хода n0 в rpm.
V = 220 Vk = 0,8 V·s/rad
n0 = rpm
4.Двигатели постоянного токаСложная
Прерыватель постоянного тока питает двигатель (k = 0,75 V·s/rad, Ra = 0,5 Ω) от шины постоянного тока 220 V. Среднее напряжение якоря равно D·220 V. Найдите коэффициент заполнения D, при котором двигатель вращается со скоростью 600 rpm при нагрузке 15 N·m.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 23 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 23 kWpf = 0,8V = 230 V
Q = kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Источник 10 V (действующее значение), 1000 Hz имеет внутреннее сопротивление Zs = 8 + j30 Ω. Полное сопротивление нагрузки ZL можно выбирать произвольно. Найдите наибольшую активную мощность Pmax, которую можно передать нагрузке.
Vs = 10 V (rms)f = 1000 HzZs = 8 + j30 Ω
Pmax = W
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 18 + j24 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 480 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 480 VZ = 18 + j24 Ω на фазу
P = kW
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 50 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: Imax = 0,2359 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 3,6/9 = 0,4
Средний ток и пульсации тока
Io = 3,6/25 = 0,144 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 5,4·0,4/(47·10⁻⁶·250·10³) = 0,1838 A
Пиковый ток
Imax = 0,144 + 0,1838/2 = 0,2359 A
Ответ
Imax = 0,2359 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔVo = 2,394 mV
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 5,4/9 = 0,6
Пульсации тока катушки
ΔIL = (9 − 5,4)·0,6/(150·10⁻⁶·40·10³) = 0,36 A
Пульсации выходного напряжения
ΔVo = 0,36/(8·40·10³·470·10⁻⁶) = 2,394 mV
Ответ
ΔVo = 2,394 mV
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: n0 = 2626 rpm
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Скорость холостого хода
ω₀ = V/k = 220/0,8 = 275 rad/s
n0 = 60·275/(2π) = 2626 rpm
Ответ
n0 = 2626 rpm
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: D = 25,97 %
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Необходимое напряжение якоря
Va = 0,75·62,83 + 20·0,5 = 57,12 V
Коэффициент заполнения
D = 57,12/220 = 25,97 %
Ответ
D = 25,97 %
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 17,25 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 23·0,75 = 17,25 kvar
Ответ
Q = 17,25 kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Pmax = 3,125 W
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопряжённое согласование
Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.
ZL = Zs* = 8 − j30 Ω
Наибольшая мощность
I = Vs/(2Rs) = 10/16 = 0,625 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 10²/(4·8) = 3,125 W
Ответ
Pmax = 3,125 W
7.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 4,608 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = 480/√3 = 277,1 V
Фазный ток
|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω
Iph = 277,1/30 = 9,238 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·9,238²·18 = 4,608 kW
Ответ
P = 4,608 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,6, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
8.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 627,3 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,75) = 50·0,8819 = 44,1 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,98) = 50·0,2031 = 10,15 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 33,94 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.