Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Идеальный понижающий преобразователь преобразует 36 V в 14,4 V при 40 kHz и L = 100 µH. Найдите размах пульсаций тока катушки ΔIL.
Vin = 36 VVo = 14,4 Vf = 40 kHzL = 100 µH
ΔIL = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Идеальный понижающий преобразователь преобразует 24 V в 16,8 V при нагрузке 25 Ω и частоте 50 kHz. Найдите наименьшую индуктивность Lcrit для режима непрерывного тока.
Vin = 24 VVo = 16,8 Vf = 50 kHzR = 25 Ω
Lcrit = µH
3.Двигатели постоянного токаСредняя
Двигатель постоянного тока потребляет 20 A от источника 240 V. Сопротивление якоря равно 1,5 Ω, а потери на вращение (трение, сопротивление воздуха и потери в железе) составляют 210 W. Найдите его КПД η.
V = 240 VIa = 20 ARa = 1,5 ΩProt = 210 W
η = %
4.Двигатели постоянного токаСложная
Двигатель постоянного тока (k = 1 V·s/rad, Ra = 0,8 Ω) при фиксированном питании 220 V приводит нагрузку 20 N·m. Найдите последовательное сопротивление Rs, замедляющее его до 1500 rpm.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 24 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 24 kWpf = 0,7V = 240 V
Q = kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазный трансформатор 10 kVA питает нагрузку 2 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?
Smax = 10 kVAP1 = 2 kWpf1 = 0,6
ΔP = kW
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 75 A от сети с линейным напряжением 690 V. Коэффициент мощности 0,8 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 690 VIL = 75 Acos φ = 0,8
P = kW
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 200 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 200 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,95VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔIL = 2,16 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 14,4/36 = 0,4
Напряжение на катушке во время включения
Пока S включён, катушка индуктивности находится между Vin и Vo.
VL = 36 − 14,4 = 21,6 V
Пульсации тока
ΔIL = VL·D/(L·f) = 21,6·0,4/(100·10⁻⁶·40·10³) = 2,16 A
Ответ
ΔIL = 2,16 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: Lcrit = 75 µH
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 16,8/24 = 0,7
Граничное условие
Приравняйте средний ток катушки к половине пульсаций тока и решите относительно L.
Lcrit = (1 − D)·R/(2f)
Критическая индуктивность
Lcrit = (1 − 0,7)·25/(250·10³) = 75 µH
Ответ
Lcrit = 75 µH
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: η = 83,13 %
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Мощности
Pin = 240·20 = 4800 W
Pdev = 210·20 = 4200 W
Pout = 4200 − 210 = 3990 W
КПД
η = 3990/4800·100 = 83,13 %
Ответ
η = 83,13 %
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: Rs = 2,346 Ω
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Ток и противо-ЭДС
Ia = 20/1 = 20 A
E = 1·157,1 = 157,1 V
Последовательное сопротивление
Ra + Rs = (220 − 157,1)/20 = 3,146 Ω
Rs = 2,346 Ω
Ответ
Rs = 2,346 Ω
Резистор рассеивает 938,4 W; прерыватель регулирует скорость с гораздо меньшими потерями.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 24,48 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 24·1,02 = 24,48 kvar
Ответ
Q = 24,48 kvar
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: ΔP = 7,638 kW
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность существующей нагрузки
Q1 = 2·tan(arccos 0,6) = 2,667 kvar
Наибольшая суммарная активная мощность
При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.
P = √(Smax² − Q1²) = √(10² − 2,667²) = 9,638 kW
Дополнительная активная мощность
ΔP = 9,638 − 2 = 7,638 kW
Ответ
ΔP = 7,638 kW
7.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 71,71 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·690·75 = 89,63 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 89,63·0,8 = 71,71 kW
Ответ
P = 71,71 kW
8.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 211,1 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,78) = 200·0,8023 = 160,5 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,95) = 200·0,3287 = 65,74 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 94,72 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.