Определите преобразователь (понижающий, повышающий или понижающе-повышающий) и коэффициент заполнения D по отношению напряжений.
Используйте баланс вольт-секунд на катушке индуктивности: среднее напряжение на катушке за период равно нулю.
Найдите напряжение на катушке при включённом ключе, затем ΔIL = VL·D/(L·f).
Для пульсаций выхода найдите заряд, входящий в конденсатор и выходящий из него; для границы режима непрерывного тока приравняйте средний ток катушки к ΔIL/2.
Двигатели постоянного тока
Цепь якоря
V = E + IaRa
Противо-ЭДС и момент
E = k·ω, T = k·Ia
Скорость
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Мощности
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Пуск
Istart = V/(Ra + Rst)
Регулирование скорости
SR = (n0 − nFL)/nFL
Максимальная развиваемая мощность
Pmax = V²/(4Ra)
Привод с прерывателем
Va = D·Vdc
Метод
Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.
Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Трёхфазная мощность
Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η
2Тренировочные задачи
1.Преобразователи постоянного напряженияСредняя
Понижающий преобразователь преобразует 9 V в 5,4 V при нагрузке 4 Ω. Он переключается с частотой 250 kHz при L = 150 µH. Найдите пиковый ток катушки Imax.
Vin = 9 VVo = 5,4 Vf = 250 kHzL = 150 µHR = 4 Ω
Imax = A
2.Преобразователи постоянного напряженияСложная
Идеальный понижающе-повышающий преобразователь преобразует 48 V в −48 V при нагрузке 50 Ω и частоте 40 kHz. Выходной конденсатор имеет ёмкость 47 µF. Найдите размах пульсаций выходного напряжения ΔVo в mV.
Vin = 48 VVo = −48 Vf = 40 kHzC = 47 µFR = 50 Ω
ΔVo = mV
3.Двигатели постоянного токаСредняя
Двигатель постоянного тока с k = 1 N·m/A и Ra = 0,8 Ω подключён к 110 V. Найдите его момент при заторможенном роторе Tstall, то есть момент при нулевой скорости.
V = 110 Vk = 1 N·m/ARa = 0,8 Ω
Tstall = N·m
4.Двигатели постоянного токаСложная
Небольшой двигатель постоянного тока имеет сопротивление якоря 4 Ω и работает от 120 V. Пренебрегая потерями на вращение, найдите наибольшую механическую мощность Pmax, которую он может развить на любой скорости.
V = 120 VRa = 4 Ω
Pmax = W
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Нагрузка с полным сопротивлением Z = 3 + j4 Ω подключена к однофазной сети 240 V (действующее значение). Найдите потребляемую ею реактивную мощность Q.
V = 240 VZ = 3 + j4 Ω
Q = var
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Источник 120 V (действующее значение), 60 Hz имеет внутреннее сопротивление Zs = 8 + j3 Ω. Полное сопротивление нагрузки ZL можно выбирать произвольно. Нагрузка для максимальной мощности составлена из резистора, соединённого последовательно с конденсатором. Найдите ёмкость C.
Vs = 120 V (rms)f = 60 HzZs = 8 + j3 Ω
C = µF
7.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 24 + j7 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 480 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 480 VZ = 24 + j7 Ω на фазу
P = kW
8.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 80 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 80 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,95VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3Растворы
1.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: Imax = 1,379 A
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 5,4/9 = 0,6
Средний ток и пульсации тока
Io = 5,4/4 = 1,35 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 3,6·0,6/(150·10⁻⁶·250·10³) = 0,0576 A
Пиковый ток
Imax = 1,35 + 0,0576/2 = 1,379 A
Ответ
Imax = 1,379 A
2.Преобразователи постоянного напряжения
Ответ: ΔVo = 255,3 mV
Преобразователи постоянного напряжения: ключ S включается на долю D каждого периода T = 1/f. В установившемся режиме среднее напряжение на катушке индуктивности равно нулю (баланс вольт-секунд), откуда следуют идеальные коэффициенты преобразования в режиме непрерывного тока: понижающий Vo = D·Vin, повышающий Vo = Vin/(1 − D), инвертирующий понижающе-повышающий |Vo| = Vin·D/(1 − D). Идеальный преобразователь сохраняет мощность: Vin·Iin = Vo·Io. Пока S включён, ток катушки нарастает на ΔIL = VL·D·T/L, где VL = Vin − Vo для понижающего и Vin для повышающего и понижающе-повышающего. Пульсация выходного напряжения равна ΔVo = ΔIL/(8fC) для понижающего и Io·D/(fC) для повышающего и понижающе-повышающего. Ток катушки лишь касается нуля (граница режима непрерывного тока), когда средний ток катушки равен ΔIL/2.
Коэффициент заполнения
D = 48/(48 + 48) = 0,5
Ток нагрузки
Io = 48/50 = 0,96 A
Пульсации выходного напряжения
ΔVo = 0,96·0,5/(40·10³·47·10⁻⁶) = 255,3 mV
Ответ
ΔVo = 255,3 mV
3.Двигатели постоянного тока
Ответ: Tstall = 137,5 N·m
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Ток при заторможенном роторе
Ia = V/Ra = 110/0,8 = 137,5 A
Момент при заторможенном роторе
Tstall = 1·137,5 = 137,5 N·m
Ответ
Tstall = 137,5 N·m
4.Двигатели постоянного тока
Ответ: Pmax = 900 W
Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление Ra, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + Ia·Ra. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·Ia, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·Ia = T·ω; входная мощность равна V·Ia, а разницу составляют потери в меди Ia²Ra и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − Ra·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/Ra. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/Ra велик, если его не ограничивает резистор.
Мощность как функция противо-ЭДС
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V
Наибольшая мощность
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 120²/(4·4) = 900 W
Ответ
Pmax = 900 W
В этой точке КПД составляет всего 50 %, поэтому реальные двигатели работают заметно выше половины скорости.
5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 9216 var
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток
|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω
I = V/|Z| = 240/5 = 48 A
Реактивная мощность
Q = I²·X = 48²·4 = 9216 var
Ответ
Q = 9216 var
6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: C = 884,2 µF
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопряжённое согласование
Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.
ZL = Zs* = 8 − j3 Ω
Ёмкость
XC = 3 Ω → C = 1/(2π·60·3) = 884,2 µF
Ответ
C = 884,2 µF
7.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 26,54 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = VL = 480 V
Фазный ток
|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
Iph = 480/25 = 19,2 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·19,2²·24 = 26,54 kW
Ответ
P = 26,54 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,96, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
8.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 50,81 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.